تم الانتهاء
function generalities
عموميات حول الدوال العددية (D_f، الزوجية، الرتابة، المطاريف والتركيب g∘f) Généralités sur les Fonctions Numériques (D_f, Parité, Monotonie, Extrémums & g∘f)
+100 XP !
أحسنت! تحليل رياضي متقن
كيف تقرأ أي دالة عددية وكأنك تراها أمام عينيك؟ 📈 Comment décoder n'importe quelle fonction numérique d'un seul coup d'œil ? 📈
تخيل أن الدالة العددية f هي آلة تحويل ذكية: تدخل فيها عدداً حقيقياً x (السابق) فتخرج لك نتيجة وحيدة f(x) (الصورة). في هذا الدرس ستتعلم كيف تحمي الآلة من الأعطال (مجموعة التعريف D_f)، كيف تكتشف تماثلها الهندسي (الزوجية والدورية)، كيف تتنبأ بصعودها أو نزولها (معدل التغير T والتركيب g∘f)، وكيف تحاصرها بين سقف وأرضية (المكبورة والمصغورة والمطاريف)! Imagine une fonction f comme une machine de transformation : tu lui donnes un nombre x (l'antécédent) et elle te renvoie un unique résultat f(x) (l'image). Dans ce cours, tu vas apprendre à éviter les pannes de la machine (domaine D_f), exploiter ses symétries (parité, périodicité), prédire ses montées et descentes (taux d'accroissement T et composée g∘f) et trouver son plafond et son plancher (majorant, minorant, extrémums) !
الوصيتان المقدستان في ℝ: «لا تقسم على صفر» و«لا تضع سالباً تحت الجذر»! Les 2 Commandements de ℝ : « Jamais diviser par 0 » et « Jamais de négatif sous √ » !
مجموعة التعريف D_f = {x ∈ ℝ / f(x) ∈ ℝ} هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي تقبل صورة قابلة للحساب. نبحث دائماً عن الممنوعات الحسابية: Le domaine D_f = {x ∈ ℝ / f(x) ∈ ℝ} regroupe tous les réels x qui ont une image calculable. On traque les interdits :
- • دالة حدودية (Polynôme):Polynôme : f(x) = ax² + bx + c ➔ D_f = ℝ (لا توجد أي مشكلة!).(aucun interdit !).
- • مقام كسري:Fraction rationnelle : f(x) = P(x) / Q(x) ➔ Cond : Q(x) ≠ 0.
- • جذر مربع في البسط:Racine carrée au numérateur : f(x) = √(A(x)) ➔ Cond : A(x) ≥ 0.
- • جذر مربع في المقام (انتبه!):Racine au dénominateur (Double condition !) : f(x) = 1 / √(A(x)) ➔ Cond : A(x) > 0 (أكبر قطعاً من 0!).(strictement positif !).
لا يكفي أن يكون لهما نفس الصيغة بعد الاختزال! يجب تحقق شرطين معاً:
(1) نفس مجموعة التعريف: D_f = D_g، و (2) لكل x ∈ D_f : f(x) = g(x).
• مثال كلاسيكي: f(x) = √((x−1)/(x+3)) و g(x) = √(x−1)/√(x+3) غير متساويتين (f ≠ g) لأن D_f = ]−∞; −3[ ∪ [1; +∞[ (جدول إشارة الكسر!) بينما D_g = [1; +∞[!
Il faut 2 conditions obligatoires : (1) D_f = D_g ET (2) ∀x ∈ D_f, f(x) = g(x).
• Exemple piège : f(x) = √((x−1)/(x+3)) et g(x) = √(x−1)/√(x+3) ne sont PAS égales (f ≠ g) car D_f = ]−∞; −3[ ∪ [1; +∞[ alors que D_g = [1; +∞[ !
• لحل x² + 2|x| − 3 = 0: نضع X = |x| ≥ 0 فنحل X² + 2X − 3 = 0 (X=1 أو X=−3 مرفوض لأن |x|≥0). إذن |x|=1 ⇔ x=1 أو x=−1، ومنه D_f = ℝ \ {−1; 1}! • Pour x² + 2|x| − 3 = 0 : pose X = |x| ≥ 0. Les racines sont X = 1 et X = −3 (impossible). Donc |x| = 1 ⇔ x = ±1 ➔ D_f = ℝ \ {−1; 1} !
كيف تدرس نصف الدالة فقط وتستنتج النصف الآخر بالتماثل الهندسي؟ Comment n'étudier que la moitié d'une fonction grâce à la symétrie ?
لكي تكون الدالة زوجية أو فردية، يجب أولاً أنه لكل x ∈ D_f لدينا −x ∈ D_f. إذا كان العدد 2 ينتمي لـ D_f ولكن −2 ∉ D_f (مثل D_f = ℝ \ {2})، نتوقف فوراً: الدالة لا زوجية ولا فردية بدون أي حساب! Il faut d'abord vérifier que ∀x ∈ D_f, −x ∈ D_f. Si D_f = ℝ \ {2}, alors −2 ∈ D_f mais son opposé 2 ∉ D_f : la fonction n'est ni paire ni impaire sans aucun calcul !
• هندسياً: المنحنى (C_f) متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب (Oy).
• الرتابة: تنعكس بين I ⊂ ℝ⁺ ومماثله I' ⊂ ℝ⁻!
• Graphe : Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).
• Variations : Opposées sur I ⊂ ℝ⁺ et son symétrique I' !
• هندسياً: المنحنى (C_f) متماثل بالنسبة لأصل المعلم O(0,0).
• الرتابة: تبقى هي نفسها على I ⊂ ℝ⁺ وعلى مماثله I' ⊂ ℝ⁻!
• Graphe : Symétrique par rapport à l'origine O(0,0).
• Variations : Conservées (mêmes sens) sur I et sur I' !
إذا كانت الدالة زوجية أو فردية، نختصر الدراسة على حيز الدراسة D_E = D_f ∩ ℝ⁺ فقط!
• زوجية (مرآة Oy): إذا كانت تزايدية على [0; +∞[ تصبح تناقصية على ]−∞; 0].
• فردية (دوران حول O): إذا كانت تزايدية على [0; +∞[ تبقى تزايدية على ]−∞; 0]!
Si f est paire ou impaire, on l'étudie uniquement sur D_E = D_f ∩ ℝ⁺ :
• Paire : Croissante sur I ➔ Décroissante sur I'.
• Impaire : Croissante sur I ➔ Croissante sur I' !
كيف تدرس رتابة أي دالة باستعمال معدل التغير T(x,y)؟ (مع المثال الملكي) Comment prouver qu'une fonction monte ou descend grâce à T(x,y) ?
• إذا كان T(x, y) > 0 على المجال I ➔ الدالة f تزايدية قطعاً على I (تحافظ على الترتيب: x < y ⇒ f(x) < f(y)).
• إذا كان T(x, y) < 0 على المجال I ➔ الدالة f تناقصية قطعاً على I (تعكس الترتيب: x < y ⇒ f(x) > f(y)).
• Si T(x, y) > 0 sur I ➔ f est strictement croissante sur I (conserve l'ordre).
• Si T(x, y) < 0 sur I ➔ f est strictement décroissante sur I (inverse l'ordre).
كيف نبسط f(x) − f(y)؟ نجمع (x − y) وحدها والكسور وحدها ثم نعمل بـ (x − y): Comment factoriser f(x) − f(y) ? On regroupe (x − y) d'un côté et les fractions de l'autre :
• على I = ]0 ; 3]: إذا كان 0 < x < y ≤ 3 فإن 0 < xy < 9 ⇒ xy − 9 < 0 ⇒ T(x,y) < 0 (تناقصية قطعاً على ]0;3]).
• على J = [3 ; +∞[: إذا كان 3 ≤ x < y فإن xy > 9 ⇒ xy − 9 > 0 ⇒ T(x,y) > 0 (تزايدية قطعاً على [3;+∞[). وبما أن f فردية، نستنتج رتابتها على ℝ⁻* بدون إعادة الحساب!
• Sur ]0 ; 3] : 0 < xy < 9 ⇒ xy − 9 < 0 ⇒ T < 0 (strictement décroissante).
• Sur [3 ; +∞[ : xy > 9 ⇒ xy − 9 > 0 ⇒ T > 0 (strictement croissante). Et par imparité, on déduit tout sur ℝ⁻* !
• إضافة عدد ثابت f + c لا يغير أبداً منحى التغيرات.
• الضرب في عدد موجب k > 0 يحافظ على الرتابة، بينما الضرب في عدد سالب k < 0 يعكس الرتابة!
• f + c garde toujours les mêmes variations que f.
• k · f garde les variations si k > 0, et les inverse si k < 0 !
الفرق الحاسم بين «المكبورة بـ M» و«القيمة القصوية M»: هل تلمس الدالة السقف؟ La différence cruciale entre « Majorant M » et « Maximum M » !
- • مكبورة بـ M على I:Majorée par M sur I : ∀x ∈ I, f(x) ≤ M (المنحنى تحت المستقيم y = M).(courbe sous la droite y = M).
- • مصغورة بـ m على I:Minorée par m sur I : ∀x ∈ I, f(x) ≥ m (المنحنى فوق المستقيم y = m).(courbe au-dessus de y = m).
- • محدودة (Bornée) على I:Bornée sur I : m ≤ f(x) ≤ M (مكبورة ومصغورة في آن واحد).(à la fois majorée et minorée).
🛠️ طريقة البرهان في الفرض: لإثبات أن f(x) ≤ M، نحسب الفرق f(x) − M ونوحد المقام أو نعمل بالمتطابقات الهامة لنجد أنه ≤ 0! 🛠️ Méthode en DS : Pour prouver f(x) ≤ M, calcule la différence f(x) − M et factorise (souvent un carré parfait) pour montrer que f(x) − M ≤ 0 !
لكي يكون العدد M قيمة قصوية لـ f على I، يجب تحقق شرطين معاً:
(1) ∀x ∈ I, f(x) ≤ M (سقف)، و (2) يوجد على الأقل عنصر x₀ ∈ I بحيث f(x₀) = M (الدالة تلمس السقف فعلياً في النقطة x₀!).
• مثال رائع: نعتبر f(x) = (2x² + 3)/(x² + 1) على ℝ. لدينا 2 < f(x) ≤ 3:
— العدد 3 قيمة قصوية لأن f(x) ≤ 3 والمعادلة f(x) = 3 تقبل حلاً هو x₀ = 0 (f(0) = 3).
— بينما العدد 2 محد صغروي (Minorant) فقط وليس قيمة دنوية لأن f(x) − 2 = 1/(x²+1) > 0 لا ينعدم أبداً في ℝ!
Pour que M soit un Maximum de f sur I, il faut 2 conditions :
(1) ∀x ∈ I, f(x) ≤ M ET (2) ∃x₀ ∈ I tel que f(x₀) = M (le plafond est atteint !).
• Exemple clé : Pour f(x) = (2x² + 3)/(x² + 1) sur ℝ, on a 2 < f(x) ≤ 3 :
— 3 est le maximum car f(x) ≤ 3 et f(0) = 3 (atteint en x₀ = 0).
— 2 est un minorant mais PAS un minimum car f(x) − 2 = 1/(x²+1) > 0 ne s'annule jamais !
لكل حدودية ax² + bx + c، مطرافها في ℝ يُبلغ دائماً في رأس الشلجم α = −b / (2a) وقيمته هي β = f(α)! Pour tout trinôme ax² + bx + c, l'extrémum sur ℝ est toujours atteint au sommet de la parabole en α = −b / (2a) et vaut β = f(α) !
بطاقة الهوية الهندسية للدوال الأربع المقررة في الأولى باكالوريا Carte d'Identité Géométrique des 4 Courbes au Programme
• الرأس (Sommet): Ω(α ; β) حيث α = −b/(2a) و β = f(α).
• محور التماثل: المستقيم العمودي ذو المعادلة x = α. إذا كان a > 0 فهو موجه نحو الأعلى (↘ ثم ↗)، وإذا كان a < 0 فهو موجه نحو الأسفل (↗ ثم ↘).
• Sommet : Ω(α ; β) avec α = −b/(2a) et β = f(α). Axe de symétrie : la droite verticale x = α.
• مجموعة التعريف: D_f = ℝ \ {−d/c}. المقاربان (Asymptotes): المستقيم العمودي x = −d/c والمستقيم الأفقي y = a/c، ومركز التماثل هو تقاطعهما Ω(−d/c ; a/c)!
• الرتابة بالمحددة Δ: نحسب Δ = ad − bc. إذا كان Δ > 0 فهي تزايدية قطعاً على كل مجال (↗ || ↗)، وإذا كان Δ < 0 فهي تناقصية قطعاً (↘ || ↘).
• Asymptotes : verticale x = −d/c et horizontale y = a/c. Centre de symétrie : Ω(−d/c ; a/c).
• Monotonie via le déterminant : Δ = ad − bc. Si Δ > 0 ➔ strictement croissante (↗ || ↗) ; si Δ < 0 ➔ strictement décroissante (↘ || ↘).
قاعدة الإشارات لرتابة المركب (g ∘ f) وأخطر 3 أخطاء في الفرض المحروس! La Règle des Signes de (g ∘ f) et les 3 Pièges Classiques en Devoir !
• رتابة g ∘ f على مجال I (تشبه قاعدة الإشارات!): نحدد أولاً المجال الوسيط J = f(I).
— إذا كان لـ f على I ولـ g على f(I) نفس الرتابة (↗ مع ↗، أو ↘ مع ↘) ➔ فإن g ∘ f تزايدية على I!
— إذا كانت رتابتاهما متعاكستين (↗ مع ↘، أو ↘ مع ↗) ➔ فإن g ∘ f تناقصية على I!
• Monotonie de g ∘ f sur I (comme la règle des signes !) : Trouve d'abord l'intervalle image J = f(I).
— Si f (sur I) et g (sur f(I)) ont la même monotonie (↗↗ ou ↘↘) ➔ g ∘ f est CROISSANTE sur I !
— Si elles ont des monotonies contraires (↗↘ ou ↘↗) ➔ g ∘ f est DÉCROISSANTE sur I !
🧭 خطاطة «رادار الدوال العددية» ومحولات الشلجم والهذلول الفورية 🧭 Le « Radar des Fonctions » & Décodeur Parabole / Hyperbole
ترجمة فورية بين الجبر والهندسة في صفحة واحدة قابلة للطباعة + حاسبتان تفاعليتان للشلجم والهذلول والتركيب. Traduction instantanée Algèbre ⟷ Géométrie sur une seule vue imprimable + 2 calculateurs interactifs.
🌉 الجسر الذهبي: الترجمة الفورية بين الخاصية الجبرية والتأويل المبياني 🌉 LE PONT D'OR : TRADUCTION INSTANTANÉE ALGÈBRE ⟷ INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
↗∘↘ = ↘ | ↘∘↗ = ↘
أدخل المعاملات a و b و c لتحصل فوراً على الرأس Ω(α;β)، الشكل القانوني، محور التماثل والمطراف على ℝ: Entre les coefficients a, b et c pour obtenir instantanément le sommet Ω(α;β), la forme canonique et l'extrémum :
أدخل المعاملات a, b, c, d لحساب المحددة Δ = ad − bc، المقاربين، مركز التماثل والرتابة: Entre a, b, c, d pour calculer le déterminant Δ = ad − bc, les asymptotes, le centre Ω et la monotonie :
🎡 راسم المنحنيات التفاعلي ومحاكي التقاطع والوضع النسبي 🎡 Explorateur 2D : Courbes de Référence & Résolution Graphique
اختر نوع الدالة المرجعية في المبيان الأول، وحرك المستقيم الأفقي y = m في المبيان الثاني لترى حلول f(x) = m و f(x) = g(x)! Explore les 4 courbes de référence à gauche, et déplace la droite y = m à droite pour visualiser f(x) = m et f(x) ≥ g(x) !
🎛️ لوحة التحكم في المنحنيات 🎛️ Panneau de Contrôle
لاحظ محور التماثل أو المقاربين بالأصفر المتقطع، وحركة النقطة الحمراء M(x₀ ; f(x₀)) على المنحنى الأخضر. Observe l'axe de symétrie ou les asymptotes en pointillés jaunes et le point mobile M(x₀ ; f(x₀)).
الشلجم الأخضر P(x) = −x²−2x+3 يقبل قيمة قصوية M = 4 في x = −1. حرك y = m لترى متى تقبل المعادلة حلين، حلاً وحيداً (m=4) أو 0 حل (m>4)! La parabole verte P(x) = −x²−2x+3 a pour maximum 4 en x = −1. Déplace y = m pour voir le nombre de solutions !
🎯 تحديات الفروض الأربعة (تغطية شاملة 100% لجميع أسئلة عموميات الدوال) 🎯 Les 4 Boss d'Examen (Zéro Redondance & Corrigés Ultra-Détaillés)
كل تمرين يغطي مهارة أساسية في الفرض المحروس مع شرح مفصل لطريقة التفكير والبرهان السطر بالسطر! Chaque Boss couvre une compétence clé de DS avec l'encadré « Comment réfléchir ? » et la rédaction complète !
مجموعة التعريف بوسيط m، الزوجية والمعادلة الدالية Domaine avec Paramètre m, Parité & Équation Fonctionnelle
📋 معطيات التحدي الأول: 📋 Énoncé du Boss #1 :
- السؤال 1: نعتبر f₁(x) = √(2x − 6) / (x − 5). حدد أصغر عدد a والعدد الممنوع b بحيث D_(f₁) = [a ; b[ ∪ ]b ; +∞[. Question 1 : Soit f₁(x) = √(2x − 6) / (x − 5). Déterminer a et la valeur interdite b tels que D_(f₁) = [a ; b[ ∪ ]b ; +∞[.
- السؤال 2: نعتبر f_m(x) = (x − 1)/(x² + 2x + m). ما هي القيمة الحدية m₀ بحيث يكون D_(f_m) = ℝ لكل m > m₀؟ Question 2 : Pour f_m(x) = (x − 1)/(x² + 2x + m), trouver le seuil m₀ tel que D_(f_m) = ℝ ⇔ m > m₀.
- السؤال 3 (تمرين كلاسيكي رائع): دالة f معرفة على ℝ وتحقق لكل x ∈ ℝ: 5·f(x) + f(−x) = 2x³ − 12x. بعد إثبات أن f فردية، استنتج تعبير f(x) ثم احسب f(2). Question 3 : Une fonction f vérifie sur ℝ : 5·f(x) + f(−x) = 2x³ − 12x. Après avoir montré que f est impaire, trouver f(x) et calculer f(2).
• لكي لا ينعدم المقام x² + 2x + m أبداً على ℝ، يجب أن يكون مميزه سالباً قطعاً (Δ < 0)!
• في السؤال 3، عوض x بـ −x في المعادلة ثم اجمع المعادلتين لتستنتج أن f(−x) = −f(x)، وبعدها عوض f(−x) بـ −f(x) لتجد 4·f(x) = 2x³ − 12x!
• Pour qu'un trinôme du second degré ne s'annule jamais sur ℝ, il faut et il suffit que Δ < 0 !
• En remplaçant x par −x et en additionnant les deux lignes, on obtient 6(f(x)+f(−x)) = 0 donc f(−x) = −f(x), ce qui donne 4·f(x) = 2x³ − 12x !
1 & 2. تحديد D_(f₁): x ∈ D_(f₁) ⇔ 2x − 6 ≥ 0 و x − 5 ≠ 0 ⇔ x ≥ 3 و x ≠ 5. إذن D_(f₁) = [3 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[ (a = 3 و b = 5). 1 & 2. Domaine D_(f₁) : x ∈ D_(f₁) ⇔ 2x − 6 ≥ 0 et x − 5 ≠ 0 ⇔ x ≥ 3 et x ≠ 5. D'où D_(f₁) = [3 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[ (a = 3 et b = 5).
3. شرط الوسيط m: D_(f_m) = ℝ ⇔ (∀x ∈ ℝ, x² + 2x + m ≠ 0) ⇔ Δ < 0. نحسب المميز: Δ = 2² − 4(1)(m) = 4 − 4m. إذن 4 − 4m < 0 ⇔ m > 1 (m₀ = 1). 3. Paramètre m : D_(f_m) = ℝ ⇔ Δ = 4 − 4m < 0 ⇔ m > 1 (m₀ = 1).
4. حل المعادلة الدالية 5f(x) + f(−x) = 2x³ − 12x (1): نعوض x بـ −x فنحصل على: 5f(−x) + f(x) = −2x³ + 12x (2). بجمع (1) و (2) طرفاً بطرف نجد: 6(f(x) + f(−x)) = 0 ⇒ f(−x) = −f(x)، إذن f دالة فردية. نعوض f(−x) = −f(x) في (1): 5f(x) − f(x) = 2x³ − 12x ⇔ 4f(x) = 2x³ − 12x ⇔ f(x) = (1/2)x³ − 3x. ومنه من أجل x = 2: f(2) = (1/2)(8) − 3(2) = 4 − 6 = −2! 4. Équation fonctionnelle : En remplaçant x par −x et en sommant les deux relations, on tire 6(f(x)+f(−x)) = 0 ⇒ f(−x) = −f(x) (f est impaire). En injectant dans la 1ère équation : 4f(x) = 2x³ − 12x ⇔ f(x) = 0,5x³ − 3x. Pour x = 2, f(2) = 4 − 6 = −2 !
معدل التغير T(x,y)، الرتابة واستغلال الفردية على ℝ* Taux d'Accroissement T(x,y), Monotonie & Parité sur ℝ*
📋 معطيات التحدي الثاني: 📋 Énoncé du Boss #2 :
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على D_f = ℝ* بما يلي: On considère la fonction f définie sur D_f = ℝ* par :
1) بين أن f فردية وأن معدل تغيرها بين عددين مختلفين x, y ∈ ℝ* يكتب: T(x, y) = (xy − k) / (xy).
2) استنتج رتابة f على ]0 ; 2] وعلى [2 ; +∞[، ثم القيمة الدنوية لـ f على ]0 ; +∞[ والقيمة القصوية لـ f على ]−∞ ; 0[.
1) Montrer que f est impaire et que son taux d'accroissement s'écrit T(x, y) = (xy − k) / (xy).
2) En déduire les variations de f sur ]0 ; 2] et [2 ; +∞[, le minimum sur ]0 ; +∞[ et le maximum sur ]−∞ ; 0[.
1. حساب معدل التغير: ليكن x ≠ y من ℝ*: f(x) − f(y) = (x − y) + (4/x − 4/y) = (x − y) − 4(x − y)/(xy) = (x − y)(xy − 4)/(xy). إذن T(x, y) = (xy − 4)/(xy) (k = 4). 1. Taux d'accroissement : f(x) − f(y) = (x − y) + 4(y − x)/(xy) = (x − y)(xy − 4)/(xy), d'où T(x, y) = (xy − 4)/(xy) (k = 4).
2 & 3. الرتابة على ]0 ; +∞[: • على ]0 ; 2]: 0 < x < y ≤ 2 ⇒ 0 < xy < 4 ⇒ xy − 4 < 0 ⇒ T(x,y) < 0، إذن f تناقصية قطعاً على ]0 ; 2]. • على [2 ; +∞[: 2 ≤ x < y ⇒ xy > 4 ⇒ xy − 4 > 0 ⇒ T(x,y) > 0، إذن f تزايدية قطعاً على [2 ; +∞[. تغير الدالة رتابتها في x₀ = 2 وتقبل قيمة دنوية على ]0 ; +∞[ هي f(2) = 2 + 4/2 = 4. 2 & 3. Variations sur ]0 ; +∞[ : f est strictement décroissante sur ]0 ; 2] et strictement croissante sur [2 ; +∞[ (x₀ = 2). Son minimum sur ]0 ; +∞[ vaut f(2) = 4.
4. الاستنتاج بالفردية على ]−∞ ; 0[: بما أن f فردية فرتابتها لا تتغير بالتماثل: تزايدية على ]−∞ ; −2] وتناقصية على [−2 ; 0[، وتقبل قيمة قصوية في x = −2 تساوي f(−2) = −f(2) = −4! 4. Par imparité sur ]−∞ ; 0[ : f est croissante sur ]−∞ ; −2] et décroissante sur [−2 ; 0[. Son maximum sur ]−∞ ; 0[ est atteint en −2 et vaut f(−2) = −4 !
الدالة المحدودة، المطاريف والشكل القانوني Fonction Bornée, Extrémums atteints & Forme Canonique
📋 معطيات التحدي الثالث: 📋 Énoncé du Boss #3 :
• الجزء A: نعتبر الدالة f(x) = −4x² + 4x + 5 = 6 − (2x − 1)² على ℝ. نريد تحديد قيمتها القصوية المطلقة M₁ على ℝ والأفصول x₁ الذي تُبلغ فيه. • Partie A : Soit f(x) = −4x² + 4x + 5 = 6 − (2x − 1)² sur ℝ. Déterminer son maximum absolu M₁ sur ℝ et l'abscisse x₁ où il est atteint.
• الجزء B: نعتبر الدالة g(x) = (4x − 3)/(x² + 1) المعرفة على ℝ. بحساب الفرقين g(x) − 1 و g(x) − (−4)، نبين أن g تقبل قيمة قصوية M₂ = 1 وقيمة دنوية m₂ = −4 على ℝ. • Partie B : Soit g(x) = (4x − 3)/(x² + 1) sur ℝ. En étudiant le signe de g(x) − 1 et g(x) + 4, on prouve que g admet un maximum M₂ = 1 et un minimum m₂ = −4 sur ℝ.
1 & 2. دراسة f(x) = 6 − (2x − 1)²: لكل x ∈ ℝ لدينا (2x − 1)² ≥ 0 ⇒ −(2x − 1)² ≤ 0 ⇒ f(x) ≤ 6. وتنعدم (2x − 1)² في x₁ = 0,5 (1/2) حيث f(0,5) = 6. إذن 6 هي القيمة القصوية المطلقة لـ f على ℝ. 1 & 2. Étude de f(x) = 6 − (2x − 1)² : Pour tout réel x, f(x) ≤ 6 et f(0,5) = 6. Donc M₁ = 6 est le maximum absolu atteint en x₁ = 0,5.
3. إثبات القيمة القصوية لـ g(x) = (4x − 3)/(x² + 1): نحسب الفرق: g(x) − 1 = (4x − 3 − x² − 1)/(x² + 1) = (−x² + 4x − 4)/(x² + 1) = −(x − 2)²/(x² + 1) ≤ 0. إذن لكل x ∈ ℝ، g(x) ≤ 1، ولدينا g(2) = 1، ومنه 1 قيمة قصوية تُبلغ في a = 2. 3. Maximum de g : g(x) − 1 = −(x − 2)²/(x² + 1) ≤ 0 sur ℝ, et g(2) = 1. Donc 1 est le maximum de g atteint en a = 2.
4. إثبات القيمة الدنوية لـ g(x): نحسب الفرق: g(x) − (−4) = (4x − 3 + 4x² + 4)/(x² + 1) = (4x² + 4x + 1)/(x² + 1) = (2x + 1)²/(x² + 1) ≥ 0. إذن g(x) ≥ −4 ولدينا g(−0,5) = −4، ومنه −4 قيمة دنوية تُبلغ في b = −0,5 (−1/2)! 4. Minimum de g : g(x) + 4 = (2x + 1)²/(x² + 1) ≥ 0 sur ℝ, et g(−0,5) = −4. Donc −4 est le minimum de g atteint en b = −0,5 !
مركب دالتين (f ∘ g)، رتابة المركب وتقاطع المنحنيات Maîtrise de la Composée (f ∘ g) & Intersections de Courbes
📋 معطيات التحدي الرابع (التركيب الشامل): 📋 Énoncé du Boss #4 :
نعتبر الدالتين f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)² و g(x) = √(x + 4)، ونضع h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Soient f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)² et g(x) = √(x + 4). On pose h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
- 1) حدد بداية مجال تعريف D_h = [a ; +∞[. 1) Déterminer la borne inférieure a du domaine D_h = [a ; +∞[.
- 2) حل في [-4 ; +∞[ المعادلة g(x) = 3، واستنتج صورة المجال g([-4 ; 5]). 2) Résoudre g(x) = 3, et en déduire l'image de l'intervalle g([-4 ; 5]) = [0 ; 3].
- 3) علماً أن g تزايدية على [-4 ; 5] وأن f تناقصية على [0 ; 3] وتزايدية على [3 ; +∞[، حدد رتابة h = f ∘ g على [-4 ; 5] واحسب h(5). 3) Sachant que g est croissante sur [-4 ; 5] et que f est décroissante sur [0 ; 3], donner la monotonie de h = f ∘ g sur [-4 ; 5] et calculer h(5).
1. مجموعة تعريف h = f ∘ g: بما أن D_g = [−4 ; +∞[ و D_f = ℝ، فإن D_h = [−4 ; +∞[ (a = −4)، ولدينا لكل x ≥ −4: h(x) = (√(x+4) − 3)² = x − 6√(x+4) + 13. 1. Domaine D_h : Comme D_g = [−4 ; +∞[ et D_f = ℝ, on a D_h = [−4 ; +∞[ (a = −4) et h(x) = (√(x+4) − 3)².
2. حل g(x) = 3 وصورة المجال: √(x+4) = 3 ⇔ x+4 = 9 ⇔ x = 5. وبما أن g تزايدية على [−4 ; 5] فإن g([−4 ; 5]) = [g(−4) ; g(5)] = [0 ; 3]. 2. Équation & Image d'intervalle : √(x+4) = 3 ⇔ x = 5. Comme g est croissante sur [−4 ; 5], g([−4 ; 5]) = [g(−4) ; g(5)] = [0 ; 3].
3 & 4. رتابة المركب h = f ∘ g: • على المجال [−4 ; 5]: الدالة g تزايدية وصورته هي [0 ; 3]، والدالة f(X) = (X − 3)² تناقصية على [0 ; 3]. بما أن الرتابتين متعاكستان فإن h = f ∘ g تناقصية على [−4 ; 5]! • على المجال [5 ; +∞[: g تزايدية وصورته [3 ; +∞[، و f تزايدية على [3 ; +∞[، إذن h تزايدية على [5 ; +∞[. وتبلغ قيمتها الدنوية في x = 5 وهي h(5) = f(3) = 0! 3 & 4. Monotonie de h = f ∘ g : Sur [−4 ; 5], g est croissante à valeurs dans [0 ; 3] et f est décroissante sur [0 ; 3], donc h est décroissante sur [−4 ; 5] (et croissante sur [5 ; +∞[). Son minimum vaut h(5) = f(3) = 0 !
🏆 فرض محروس في عموميات الدوال بالعد التنازلي (منقط على 20/20) 🏆 Devoir Surveillé sur les Fonctions Chronométré (Noté sur 20/20)
2,5 نقطة لكل سؤال. اختبر جاهزيتك الكاملة قبل يوم الفرض الحقيقي في القسم! 2,5 points par question. Teste ta maîtrise complète avant ton vrai contrôle en classe !
20 / 20
ما هي مجموعة التعريف D_f للدالة f(x) = (x + 1) / √(−2x² + x + 3)؟ Quel est l'ensemble de définition D_f de f(x) = (x + 1) / √(−2x² + x + 3) ?
ما هي طبيعة زوجية الدالتين f(x) = 2x³ / (x² + 5) على ℝ و g(x) = x / (x − 2) على ℝ \ {2}؟ Quelle est la parité de f(x) = 2x³ / (x² + 5) sur ℝ et de g(x) = x / (x − 2) sur ℝ \ {2} ?
ما هو أرتوب الرأس β = f(α) (القيمة القصوية) للشلجم الممثل للدالة f(x) = −(1/2)x² + 2x + 1 على ℝ؟ Quelle est l'ordonnée du sommet β = f(α) (le maximum) de la parabole f(x) = −0,5x² + 2x + 1 ?
نعتبر الهذلول الممثل للدالة المتخاطة g(x) = (2x + 3)/(x − 1) ومركز تماثله Ω(x_Ω ; y_Ω). كم يساوي المجموع x_Ω + y_Ω؟ Soit l'hyperbole de g(x) = (2x + 3)/(x − 1) de centre de symétrie Ω(x_Ω ; y_Ω). Que vaut x_Ω + y_Ω ?
نعتبر f(x) = 3x + 4 و g(x) = 1 / (x + 1). ما هي القيمة الممنوعة الوحيدة لـ x في مجموعة تعريف المركب D_(g∘f)؟ (أعط القيمة العشرية المقربة لـ −5/3) Pour f(x) = 3x + 4 et g(x) = 1 / (x + 1), quelle est la valeur interdite de D_(g∘f) (−5/3 en décimal) ?
دالة f دورية على ℝ دورها T = 2 وتحقق لكل x ∈ [0 ; 2[: f(x) = 2x − x². احسب القيمة المضبوطة لـ f(−3,5): Soit f périodique de période T = 2 telle que sur [0 ; 2[, f(x) = 2x − x². Que vaut f(−3,5) ?
نعتبر منحنيي الدالتين f(x) = x² − 3x − 4 و g(x) = 3x + 12 في نفس المعلم. ما هو أكبر أفصول لنقطتي تقاطع (C_f) و (C_g)؟ Soient f(x) = x² − 3x − 4 et g(x) = 3x + 12. Quelle est la plus grande abscisse d'intersection de (C_f) et (C_g) ?
لدينا لكل x ∈ ℝ: 2 < (2x² + 3)/(x² + 1) ≤ 3. ماذا يمثل العددان 3 و 2 بالنسبة للدالة f(x) = (2x² + 3)/(x² + 1) على ℝ؟ Pour tout x ∈ ℝ, 2 < (2x² + 3)/(x² + 1) ≤ 3. Que représentent 3 et 2 pour cette fonction sur ℝ ?
🎬 استوديو NotebookLM: هيكلة فيديو 8 دقائق وأمر التوليد الجاهز 🎬 Studio NotebookLM : Trame Vidéo 8 min & Prompt Clé-en-Main
⏱️ هيكلة الفيديو / البودكاست التعليمي (8 دقائق) ⏱️ Structure de la Vidéo / Podcast (8 Minutes)
عموميات حول الدوال العددية (D_f، الزوجية، الرتابة، المطاريف والتركيب g∘f) Généralités sur les Fonctions Numériques (D_f, Parité, Monotonie, Extrémums & g∘f)
+100 XP !
أحسنت! تحليل رياضي متقن
كيف تقرأ أي دالة عددية وكأنك تراها أمام عينيك؟ 📈 Comment décoder n'importe quelle fonction numérique d'un seul coup d'œil ? 📈
تخيل أن الدالة العددية f هي آلة تحويل ذكية: تدخل فيها عدداً حقيقياً x (السابق) فتخرج لك نتيجة وحيدة f(x) (الصورة). في هذا الدرس ستتعلم كيف تحمي الآلة من الأعطال (مجموعة التعريف D_f)، كيف تكتشف تماثلها الهندسي (الزوجية والدورية)، كيف تتنبأ بصعودها أو نزولها (معدل التغير T والتركيب g∘f)، وكيف تحاصرها بين سقف وأرضية (المكبورة والمصغورة والمطاريف)! Imagine une fonction f comme une machine de transformation : tu lui donnes un nombre x (l'antécédent) et elle te renvoie un unique résultat f(x) (l'image). Dans ce cours, tu vas apprendre à éviter les pannes de la machine (domaine D_f), exploiter ses symétries (parité, périodicité), prédire ses montées et descentes (taux d'accroissement T et composée g∘f) et trouver son plafond et son plancher (majorant, minorant, extrémums) !
الوصيتان المقدستان في ℝ: «لا تقسم على صفر» و«لا تضع سالباً تحت الجذر»! Les 2 Commandements de ℝ : « Jamais diviser par 0 » et « Jamais de négatif sous √ » !
مجموعة التعريف D_f = {x ∈ ℝ / f(x) ∈ ℝ} هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي تقبل صورة قابلة للحساب. نبحث دائماً عن الممنوعات الحسابية: Le domaine D_f = {x ∈ ℝ / f(x) ∈ ℝ} regroupe tous les réels x qui ont une image calculable. On traque les interdits :
- • دالة حدودية (Polynôme):Polynôme : f(x) = ax² + bx + c ➔ D_f = ℝ (لا توجد أي مشكلة!).(aucun interdit !).
- • مقام كسري:Fraction rationnelle : f(x) = P(x) / Q(x) ➔ Cond : Q(x) ≠ 0.
- • جذر مربع في البسط:Racine carrée au numérateur : f(x) = √(A(x)) ➔ Cond : A(x) ≥ 0.
- • جذر مربع في المقام (انتبه!):Racine au dénominateur (Double condition !) : f(x) = 1 / √(A(x)) ➔ Cond : A(x) > 0 (أكبر قطعاً من 0!).(strictement positif !).
لا يكفي أن يكون لهما نفس الصيغة بعد الاختزال! يجب تحقق شرطين معاً:
(1) نفس مجموعة التعريف: D_f = D_g، و (2) لكل x ∈ D_f : f(x) = g(x).
• مثال كلاسيكي: f(x) = √((x−1)/(x+3)) و g(x) = √(x−1)/√(x+3) غير متساويتين (f ≠ g) لأن D_f = ]−∞; −3[ ∪ [1; +∞[ (جدول إشارة الكسر!) بينما D_g = [1; +∞[!
Il faut 2 conditions obligatoires : (1) D_f = D_g ET (2) ∀x ∈ D_f, f(x) = g(x).
• Exemple piège : f(x) = √((x−1)/(x+3)) et g(x) = √(x−1)/√(x+3) ne sont PAS égales (f ≠ g) car D_f = ]−∞; −3[ ∪ [1; +∞[ alors que D_g = [1; +∞[ !
• لحل x² + 2|x| − 3 = 0: نضع X = |x| ≥ 0 فنحل X² + 2X − 3 = 0 (X=1 أو X=−3 مرفوض لأن |x|≥0). إذن |x|=1 ⇔ x=1 أو x=−1، ومنه D_f = ℝ \ {−1; 1}! • Pour x² + 2|x| − 3 = 0 : pose X = |x| ≥ 0. Les racines sont X = 1 et X = −3 (impossible). Donc |x| = 1 ⇔ x = ±1 ➔ D_f = ℝ \ {−1; 1} !
كيف تدرس نصف الدالة فقط وتستنتج النصف الآخر بالتماثل الهندسي؟ Comment n'étudier que la moitié d'une fonction grâce à la symétrie ?
لكي تكون الدالة زوجية أو فردية، يجب أولاً أنه لكل x ∈ D_f لدينا −x ∈ D_f. إذا كان العدد 2 ينتمي لـ D_f ولكن −2 ∉ D_f (مثل D_f = ℝ \ {2})، نتوقف فوراً: الدالة لا زوجية ولا فردية بدون أي حساب! Il faut d'abord vérifier que ∀x ∈ D_f, −x ∈ D_f. Si D_f = ℝ \ {2}, alors −2 ∈ D_f mais son opposé 2 ∉ D_f : la fonction n'est ni paire ni impaire sans aucun calcul !
• هندسياً: المنحنى (C_f) متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب (Oy).
• الرتابة: تنعكس بين I ⊂ ℝ⁺ ومماثله I' ⊂ ℝ⁻!
• Graphe : Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).
• Variations : Opposées sur I ⊂ ℝ⁺ et son symétrique I' !
• هندسياً: المنحنى (C_f) متماثل بالنسبة لأصل المعلم O(0,0).
• الرتابة: تبقى هي نفسها على I ⊂ ℝ⁺ وعلى مماثله I' ⊂ ℝ⁻!
• Graphe : Symétrique par rapport à l'origine O(0,0).
• Variations : Conservées (mêmes sens) sur I et sur I' !
إذا كانت الدالة زوجية أو فردية، نختصر الدراسة على حيز الدراسة D_E = D_f ∩ ℝ⁺ فقط!
• زوجية (مرآة Oy): إذا كانت تزايدية على [0; +∞[ تصبح تناقصية على ]−∞; 0].
• فردية (دوران حول O): إذا كانت تزايدية على [0; +∞[ تبقى تزايدية على ]−∞; 0]!
Si f est paire ou impaire, on l'étudie uniquement sur D_E = D_f ∩ ℝ⁺ :
• Paire : Croissante sur I ➔ Décroissante sur I'.
• Impaire : Croissante sur I ➔ Croissante sur I' !
كيف تدرس رتابة أي دالة باستعمال معدل التغير T(x,y)؟ (مع المثال الملكي) Comment prouver qu'une fonction monte ou descend grâce à T(x,y) ?
• إذا كان T(x, y) > 0 على المجال I ➔ الدالة f تزايدية قطعاً على I (تحافظ على الترتيب: x < y ⇒ f(x) < f(y)).
• إذا كان T(x, y) < 0 على المجال I ➔ الدالة f تناقصية قطعاً على I (تعكس الترتيب: x < y ⇒ f(x) > f(y)).
• Si T(x, y) > 0 sur I ➔ f est strictement croissante sur I (conserve l'ordre).
• Si T(x, y) < 0 sur I ➔ f est strictement décroissante sur I (inverse l'ordre).
كيف نبسط f(x) − f(y)؟ نجمع (x − y) وحدها والكسور وحدها ثم نعمل بـ (x − y): Comment factoriser f(x) − f(y) ? On regroupe (x − y) d'un côté et les fractions de l'autre :
• على I = ]0 ; 3]: إذا كان 0 < x < y ≤ 3 فإن 0 < xy < 9 ⇒ xy − 9 < 0 ⇒ T(x,y) < 0 (تناقصية قطعاً على ]0;3]).
• على J = [3 ; +∞[: إذا كان 3 ≤ x < y فإن xy > 9 ⇒ xy − 9 > 0 ⇒ T(x,y) > 0 (تزايدية قطعاً على [3;+∞[). وبما أن f فردية، نستنتج رتابتها على ℝ⁻* بدون إعادة الحساب!
• Sur ]0 ; 3] : 0 < xy < 9 ⇒ xy − 9 < 0 ⇒ T < 0 (strictement décroissante).
• Sur [3 ; +∞[ : xy > 9 ⇒ xy − 9 > 0 ⇒ T > 0 (strictement croissante). Et par imparité, on déduit tout sur ℝ⁻* !
• إضافة عدد ثابت f + c لا يغير أبداً منحى التغيرات.
• الضرب في عدد موجب k > 0 يحافظ على الرتابة، بينما الضرب في عدد سالب k < 0 يعكس الرتابة!
• f + c garde toujours les mêmes variations que f.
• k · f garde les variations si k > 0, et les inverse si k < 0 !
الفرق الحاسم بين «المكبورة بـ M» و«القيمة القصوية M»: هل تلمس الدالة السقف؟ La différence cruciale entre « Majorant M » et « Maximum M » !
- • مكبورة بـ M على I:Majorée par M sur I : ∀x ∈ I, f(x) ≤ M (المنحنى تحت المستقيم y = M).(courbe sous la droite y = M).
- • مصغورة بـ m على I:Minorée par m sur I : ∀x ∈ I, f(x) ≥ m (المنحنى فوق المستقيم y = m).(courbe au-dessus de y = m).
- • محدودة (Bornée) على I:Bornée sur I : m ≤ f(x) ≤ M (مكبورة ومصغورة في آن واحد).(à la fois majorée et minorée).
🛠️ طريقة البرهان في الفرض: لإثبات أن f(x) ≤ M، نحسب الفرق f(x) − M ونوحد المقام أو نعمل بالمتطابقات الهامة لنجد أنه ≤ 0! 🛠️ Méthode en DS : Pour prouver f(x) ≤ M, calcule la différence f(x) − M et factorise (souvent un carré parfait) pour montrer que f(x) − M ≤ 0 !
لكي يكون العدد M قيمة قصوية لـ f على I، يجب تحقق شرطين معاً:
(1) ∀x ∈ I, f(x) ≤ M (سقف)، و (2) يوجد على الأقل عنصر x₀ ∈ I بحيث f(x₀) = M (الدالة تلمس السقف فعلياً في النقطة x₀!).
• مثال رائع: نعتبر f(x) = (2x² + 3)/(x² + 1) على ℝ. لدينا 2 < f(x) ≤ 3:
— العدد 3 قيمة قصوية لأن f(x) ≤ 3 والمعادلة f(x) = 3 تقبل حلاً هو x₀ = 0 (f(0) = 3).
— بينما العدد 2 محد صغروي (Minorant) فقط وليس قيمة دنوية لأن f(x) − 2 = 1/(x²+1) > 0 لا ينعدم أبداً في ℝ!
Pour que M soit un Maximum de f sur I, il faut 2 conditions :
(1) ∀x ∈ I, f(x) ≤ M ET (2) ∃x₀ ∈ I tel que f(x₀) = M (le plafond est atteint !).
• Exemple clé : Pour f(x) = (2x² + 3)/(x² + 1) sur ℝ, on a 2 < f(x) ≤ 3 :
— 3 est le maximum car f(x) ≤ 3 et f(0) = 3 (atteint en x₀ = 0).
— 2 est un minorant mais PAS un minimum car f(x) − 2 = 1/(x²+1) > 0 ne s'annule jamais !
لكل حدودية ax² + bx + c، مطرافها في ℝ يُبلغ دائماً في رأس الشلجم α = −b / (2a) وقيمته هي β = f(α)! Pour tout trinôme ax² + bx + c, l'extrémum sur ℝ est toujours atteint au sommet de la parabole en α = −b / (2a) et vaut β = f(α) !
بطاقة الهوية الهندسية للدوال الأربع المقررة في الأولى باكالوريا Carte d'Identité Géométrique des 4 Courbes au Programme
• الرأس (Sommet): Ω(α ; β) حيث α = −b/(2a) و β = f(α).
• محور التماثل: المستقيم العمودي ذو المعادلة x = α. إذا كان a > 0 فهو موجه نحو الأعلى (↘ ثم ↗)، وإذا كان a < 0 فهو موجه نحو الأسفل (↗ ثم ↘).
• Sommet : Ω(α ; β) avec α = −b/(2a) et β = f(α). Axe de symétrie : la droite verticale x = α.
• مجموعة التعريف: D_f = ℝ \ {−d/c}. المقاربان (Asymptotes): المستقيم العمودي x = −d/c والمستقيم الأفقي y = a/c، ومركز التماثل هو تقاطعهما Ω(−d/c ; a/c)!
• الرتابة بالمحددة Δ: نحسب Δ = ad − bc. إذا كان Δ > 0 فهي تزايدية قطعاً على كل مجال (↗ || ↗)، وإذا كان Δ < 0 فهي تناقصية قطعاً (↘ || ↘).
• Asymptotes : verticale x = −d/c et horizontale y = a/c. Centre de symétrie : Ω(−d/c ; a/c).
• Monotonie via le déterminant : Δ = ad − bc. Si Δ > 0 ➔ strictement croissante (↗ || ↗) ; si Δ < 0 ➔ strictement décroissante (↘ || ↘).
قاعدة الإشارات لرتابة المركب (g ∘ f) وأخطر 3 أخطاء في الفرض المحروس! La Règle des Signes de (g ∘ f) et les 3 Pièges Classiques en Devoir !
• رتابة g ∘ f على مجال I (تشبه قاعدة الإشارات!): نحدد أولاً المجال الوسيط J = f(I).
— إذا كان لـ f على I ولـ g على f(I) نفس الرتابة (↗ مع ↗، أو ↘ مع ↘) ➔ فإن g ∘ f تزايدية على I!
— إذا كانت رتابتاهما متعاكستين (↗ مع ↘، أو ↘ مع ↗) ➔ فإن g ∘ f تناقصية على I!
• Monotonie de g ∘ f sur I (comme la règle des signes !) : Trouve d'abord l'intervalle image J = f(I).
— Si f (sur I) et g (sur f(I)) ont la même monotonie (↗↗ ou ↘↘) ➔ g ∘ f est CROISSANTE sur I !
— Si elles ont des monotonies contraires (↗↘ ou ↘↗) ➔ g ∘ f est DÉCROISSANTE sur I !
🧭 خطاطة «رادار الدوال العددية» ومحولات الشلجم والهذلول الفورية 🧭 Le « Radar des Fonctions » & Décodeur Parabole / Hyperbole
ترجمة فورية بين الجبر والهندسة في صفحة واحدة قابلة للطباعة + حاسبتان تفاعليتان للشلجم والهذلول والتركيب. Traduction instantanée Algèbre ⟷ Géométrie sur une seule vue imprimable + 2 calculateurs interactifs.
🌉 الجسر الذهبي: الترجمة الفورية بين الخاصية الجبرية والتأويل المبياني 🌉 LE PONT D'OR : TRADUCTION INSTANTANÉE ALGÈBRE ⟷ INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
↗∘↘ = ↘ | ↘∘↗ = ↘
أدخل المعاملات a و b و c لتحصل فوراً على الرأس Ω(α;β)، الشكل القانوني، محور التماثل والمطراف على ℝ: Entre les coefficients a, b et c pour obtenir instantanément le sommet Ω(α;β), la forme canonique et l'extrémum :
أدخل المعاملات a, b, c, d لحساب المحددة Δ = ad − bc، المقاربين، مركز التماثل والرتابة: Entre a, b, c, d pour calculer le déterminant Δ = ad − bc, les asymptotes, le centre Ω et la monotonie :
🎡 راسم المنحنيات التفاعلي ومحاكي التقاطع والوضع النسبي 🎡 Explorateur 2D : Courbes de Référence & Résolution Graphique
اختر نوع الدالة المرجعية في المبيان الأول، وحرك المستقيم الأفقي y = m في المبيان الثاني لترى حلول f(x) = m و f(x) = g(x)! Explore les 4 courbes de référence à gauche, et déplace la droite y = m à droite pour visualiser f(x) = m et f(x) ≥ g(x) !
🎛️ لوحة التحكم في المنحنيات 🎛️ Panneau de Contrôle
لاحظ محور التماثل أو المقاربين بالأصفر المتقطع، وحركة النقطة الحمراء M(x₀ ; f(x₀)) على المنحنى الأخضر. Observe l'axe de symétrie ou les asymptotes en pointillés jaunes et le point mobile M(x₀ ; f(x₀)).
الشلجم الأخضر P(x) = −x²−2x+3 يقبل قيمة قصوية M = 4 في x = −1. حرك y = m لترى متى تقبل المعادلة حلين، حلاً وحيداً (m=4) أو 0 حل (m>4)! La parabole verte P(x) = −x²−2x+3 a pour maximum 4 en x = −1. Déplace y = m pour voir le nombre de solutions !
🎯 تحديات الفروض الأربعة (تغطية شاملة 100% لجميع أسئلة عموميات الدوال) 🎯 Les 4 Boss d'Examen (Zéro Redondance & Corrigés Ultra-Détaillés)
كل تمرين يغطي مهارة أساسية في الفرض المحروس مع شرح مفصل لطريقة التفكير والبرهان السطر بالسطر! Chaque Boss couvre une compétence clé de DS avec l'encadré « Comment réfléchir ? » et la rédaction complète !
مجموعة التعريف بوسيط m، الزوجية والمعادلة الدالية Domaine avec Paramètre m, Parité & Équation Fonctionnelle
📋 معطيات التحدي الأول: 📋 Énoncé du Boss #1 :
- السؤال 1: نعتبر f₁(x) = √(2x − 6) / (x − 5). حدد أصغر عدد a والعدد الممنوع b بحيث D_(f₁) = [a ; b[ ∪ ]b ; +∞[. Question 1 : Soit f₁(x) = √(2x − 6) / (x − 5). Déterminer a et la valeur interdite b tels que D_(f₁) = [a ; b[ ∪ ]b ; +∞[.
- السؤال 2: نعتبر f_m(x) = (x − 1)/(x² + 2x + m). ما هي القيمة الحدية m₀ بحيث يكون D_(f_m) = ℝ لكل m > m₀؟ Question 2 : Pour f_m(x) = (x − 1)/(x² + 2x + m), trouver le seuil m₀ tel que D_(f_m) = ℝ ⇔ m > m₀.
- السؤال 3 (تمرين كلاسيكي رائع): دالة f معرفة على ℝ وتحقق لكل x ∈ ℝ: 5·f(x) + f(−x) = 2x³ − 12x. بعد إثبات أن f فردية، استنتج تعبير f(x) ثم احسب f(2). Question 3 : Une fonction f vérifie sur ℝ : 5·f(x) + f(−x) = 2x³ − 12x. Après avoir montré que f est impaire, trouver f(x) et calculer f(2).
• لكي لا ينعدم المقام x² + 2x + m أبداً على ℝ، يجب أن يكون مميزه سالباً قطعاً (Δ < 0)!
• في السؤال 3، عوض x بـ −x في المعادلة ثم اجمع المعادلتين لتستنتج أن f(−x) = −f(x)، وبعدها عوض f(−x) بـ −f(x) لتجد 4·f(x) = 2x³ − 12x!
• Pour qu'un trinôme du second degré ne s'annule jamais sur ℝ, il faut et il suffit que Δ < 0 !
• En remplaçant x par −x et en additionnant les deux lignes, on obtient 6(f(x)+f(−x)) = 0 donc f(−x) = −f(x), ce qui donne 4·f(x) = 2x³ − 12x !
1 & 2. تحديد D_(f₁): x ∈ D_(f₁) ⇔ 2x − 6 ≥ 0 و x − 5 ≠ 0 ⇔ x ≥ 3 و x ≠ 5. إذن D_(f₁) = [3 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[ (a = 3 و b = 5). 1 & 2. Domaine D_(f₁) : x ∈ D_(f₁) ⇔ 2x − 6 ≥ 0 et x − 5 ≠ 0 ⇔ x ≥ 3 et x ≠ 5. D'où D_(f₁) = [3 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[ (a = 3 et b = 5).
3. شرط الوسيط m: D_(f_m) = ℝ ⇔ (∀x ∈ ℝ, x² + 2x + m ≠ 0) ⇔ Δ < 0. نحسب المميز: Δ = 2² − 4(1)(m) = 4 − 4m. إذن 4 − 4m < 0 ⇔ m > 1 (m₀ = 1). 3. Paramètre m : D_(f_m) = ℝ ⇔ Δ = 4 − 4m < 0 ⇔ m > 1 (m₀ = 1).
4. حل المعادلة الدالية 5f(x) + f(−x) = 2x³ − 12x (1): نعوض x بـ −x فنحصل على: 5f(−x) + f(x) = −2x³ + 12x (2). بجمع (1) و (2) طرفاً بطرف نجد: 6(f(x) + f(−x)) = 0 ⇒ f(−x) = −f(x)، إذن f دالة فردية. نعوض f(−x) = −f(x) في (1): 5f(x) − f(x) = 2x³ − 12x ⇔ 4f(x) = 2x³ − 12x ⇔ f(x) = (1/2)x³ − 3x. ومنه من أجل x = 2: f(2) = (1/2)(8) − 3(2) = 4 − 6 = −2! 4. Équation fonctionnelle : En remplaçant x par −x et en sommant les deux relations, on tire 6(f(x)+f(−x)) = 0 ⇒ f(−x) = −f(x) (f est impaire). En injectant dans la 1ère équation : 4f(x) = 2x³ − 12x ⇔ f(x) = 0,5x³ − 3x. Pour x = 2, f(2) = 4 − 6 = −2 !
معدل التغير T(x,y)، الرتابة واستغلال الفردية على ℝ* Taux d'Accroissement T(x,y), Monotonie & Parité sur ℝ*
📋 معطيات التحدي الثاني: 📋 Énoncé du Boss #2 :
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على D_f = ℝ* بما يلي: On considère la fonction f définie sur D_f = ℝ* par :
1) بين أن f فردية وأن معدل تغيرها بين عددين مختلفين x, y ∈ ℝ* يكتب: T(x, y) = (xy − k) / (xy).
2) استنتج رتابة f على ]0 ; 2] وعلى [2 ; +∞[، ثم القيمة الدنوية لـ f على ]0 ; +∞[ والقيمة القصوية لـ f على ]−∞ ; 0[.
1) Montrer que f est impaire et que son taux d'accroissement s'écrit T(x, y) = (xy − k) / (xy).
2) En déduire les variations de f sur ]0 ; 2] et [2 ; +∞[, le minimum sur ]0 ; +∞[ et le maximum sur ]−∞ ; 0[.
1. حساب معدل التغير: ليكن x ≠ y من ℝ*: f(x) − f(y) = (x − y) + (4/x − 4/y) = (x − y) − 4(x − y)/(xy) = (x − y)(xy − 4)/(xy). إذن T(x, y) = (xy − 4)/(xy) (k = 4). 1. Taux d'accroissement : f(x) − f(y) = (x − y) + 4(y − x)/(xy) = (x − y)(xy − 4)/(xy), d'où T(x, y) = (xy − 4)/(xy) (k = 4).
2 & 3. الرتابة على ]0 ; +∞[: • على ]0 ; 2]: 0 < x < y ≤ 2 ⇒ 0 < xy < 4 ⇒ xy − 4 < 0 ⇒ T(x,y) < 0، إذن f تناقصية قطعاً على ]0 ; 2]. • على [2 ; +∞[: 2 ≤ x < y ⇒ xy > 4 ⇒ xy − 4 > 0 ⇒ T(x,y) > 0، إذن f تزايدية قطعاً على [2 ; +∞[. تغير الدالة رتابتها في x₀ = 2 وتقبل قيمة دنوية على ]0 ; +∞[ هي f(2) = 2 + 4/2 = 4. 2 & 3. Variations sur ]0 ; +∞[ : f est strictement décroissante sur ]0 ; 2] et strictement croissante sur [2 ; +∞[ (x₀ = 2). Son minimum sur ]0 ; +∞[ vaut f(2) = 4.
4. الاستنتاج بالفردية على ]−∞ ; 0[: بما أن f فردية فرتابتها لا تتغير بالتماثل: تزايدية على ]−∞ ; −2] وتناقصية على [−2 ; 0[، وتقبل قيمة قصوية في x = −2 تساوي f(−2) = −f(2) = −4! 4. Par imparité sur ]−∞ ; 0[ : f est croissante sur ]−∞ ; −2] et décroissante sur [−2 ; 0[. Son maximum sur ]−∞ ; 0[ est atteint en −2 et vaut f(−2) = −4 !
الدالة المحدودة، المطاريف والشكل القانوني Fonction Bornée, Extrémums atteints & Forme Canonique
📋 معطيات التحدي الثالث: 📋 Énoncé du Boss #3 :
• الجزء A: نعتبر الدالة f(x) = −4x² + 4x + 5 = 6 − (2x − 1)² على ℝ. نريد تحديد قيمتها القصوية المطلقة M₁ على ℝ والأفصول x₁ الذي تُبلغ فيه. • Partie A : Soit f(x) = −4x² + 4x + 5 = 6 − (2x − 1)² sur ℝ. Déterminer son maximum absolu M₁ sur ℝ et l'abscisse x₁ où il est atteint.
• الجزء B: نعتبر الدالة g(x) = (4x − 3)/(x² + 1) المعرفة على ℝ. بحساب الفرقين g(x) − 1 و g(x) − (−4)، نبين أن g تقبل قيمة قصوية M₂ = 1 وقيمة دنوية m₂ = −4 على ℝ. • Partie B : Soit g(x) = (4x − 3)/(x² + 1) sur ℝ. En étudiant le signe de g(x) − 1 et g(x) + 4, on prouve que g admet un maximum M₂ = 1 et un minimum m₂ = −4 sur ℝ.
1 & 2. دراسة f(x) = 6 − (2x − 1)²: لكل x ∈ ℝ لدينا (2x − 1)² ≥ 0 ⇒ −(2x − 1)² ≤ 0 ⇒ f(x) ≤ 6. وتنعدم (2x − 1)² في x₁ = 0,5 (1/2) حيث f(0,5) = 6. إذن 6 هي القيمة القصوية المطلقة لـ f على ℝ. 1 & 2. Étude de f(x) = 6 − (2x − 1)² : Pour tout réel x, f(x) ≤ 6 et f(0,5) = 6. Donc M₁ = 6 est le maximum absolu atteint en x₁ = 0,5.
3. إثبات القيمة القصوية لـ g(x) = (4x − 3)/(x² + 1): نحسب الفرق: g(x) − 1 = (4x − 3 − x² − 1)/(x² + 1) = (−x² + 4x − 4)/(x² + 1) = −(x − 2)²/(x² + 1) ≤ 0. إذن لكل x ∈ ℝ، g(x) ≤ 1، ولدينا g(2) = 1، ومنه 1 قيمة قصوية تُبلغ في a = 2. 3. Maximum de g : g(x) − 1 = −(x − 2)²/(x² + 1) ≤ 0 sur ℝ, et g(2) = 1. Donc 1 est le maximum de g atteint en a = 2.
4. إثبات القيمة الدنوية لـ g(x): نحسب الفرق: g(x) − (−4) = (4x − 3 + 4x² + 4)/(x² + 1) = (4x² + 4x + 1)/(x² + 1) = (2x + 1)²/(x² + 1) ≥ 0. إذن g(x) ≥ −4 ولدينا g(−0,5) = −4، ومنه −4 قيمة دنوية تُبلغ في b = −0,5 (−1/2)! 4. Minimum de g : g(x) + 4 = (2x + 1)²/(x² + 1) ≥ 0 sur ℝ, et g(−0,5) = −4. Donc −4 est le minimum de g atteint en b = −0,5 !
مركب دالتين (f ∘ g)، رتابة المركب وتقاطع المنحنيات Maîtrise de la Composée (f ∘ g) & Intersections de Courbes
📋 معطيات التحدي الرابع (التركيب الشامل): 📋 Énoncé du Boss #4 :
نعتبر الدالتين f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)² و g(x) = √(x + 4)، ونضع h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Soient f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)² et g(x) = √(x + 4). On pose h(x) = (f ∘ g)(x) = f(g(x)).
- 1) حدد بداية مجال تعريف D_h = [a ; +∞[. 1) Déterminer la borne inférieure a du domaine D_h = [a ; +∞[.
- 2) حل في [-4 ; +∞[ المعادلة g(x) = 3، واستنتج صورة المجال g([-4 ; 5]). 2) Résoudre g(x) = 3, et en déduire l'image de l'intervalle g([-4 ; 5]) = [0 ; 3].
- 3) علماً أن g تزايدية على [-4 ; 5] وأن f تناقصية على [0 ; 3] وتزايدية على [3 ; +∞[، حدد رتابة h = f ∘ g على [-4 ; 5] واحسب h(5). 3) Sachant que g est croissante sur [-4 ; 5] et que f est décroissante sur [0 ; 3], donner la monotonie de h = f ∘ g sur [-4 ; 5] et calculer h(5).
1. مجموعة تعريف h = f ∘ g: بما أن D_g = [−4 ; +∞[ و D_f = ℝ، فإن D_h = [−4 ; +∞[ (a = −4)، ولدينا لكل x ≥ −4: h(x) = (√(x+4) − 3)² = x − 6√(x+4) + 13. 1. Domaine D_h : Comme D_g = [−4 ; +∞[ et D_f = ℝ, on a D_h = [−4 ; +∞[ (a = −4) et h(x) = (√(x+4) − 3)².
2. حل g(x) = 3 وصورة المجال: √(x+4) = 3 ⇔ x+4 = 9 ⇔ x = 5. وبما أن g تزايدية على [−4 ; 5] فإن g([−4 ; 5]) = [g(−4) ; g(5)] = [0 ; 3]. 2. Équation & Image d'intervalle : √(x+4) = 3 ⇔ x = 5. Comme g est croissante sur [−4 ; 5], g([−4 ; 5]) = [g(−4) ; g(5)] = [0 ; 3].
3 & 4. رتابة المركب h = f ∘ g: • على المجال [−4 ; 5]: الدالة g تزايدية وصورته هي [0 ; 3]، والدالة f(X) = (X − 3)² تناقصية على [0 ; 3]. بما أن الرتابتين متعاكستان فإن h = f ∘ g تناقصية على [−4 ; 5]! • على المجال [5 ; +∞[: g تزايدية وصورته [3 ; +∞[، و f تزايدية على [3 ; +∞[، إذن h تزايدية على [5 ; +∞[. وتبلغ قيمتها الدنوية في x = 5 وهي h(5) = f(3) = 0! 3 & 4. Monotonie de h = f ∘ g : Sur [−4 ; 5], g est croissante à valeurs dans [0 ; 3] et f est décroissante sur [0 ; 3], donc h est décroissante sur [−4 ; 5] (et croissante sur [5 ; +∞[). Son minimum vaut h(5) = f(3) = 0 !
🏆 فرض محروس في عموميات الدوال بالعد التنازلي (منقط على 20/20) 🏆 Devoir Surveillé sur les Fonctions Chronométré (Noté sur 20/20)
2,5 نقطة لكل سؤال. اختبر جاهزيتك الكاملة قبل يوم الفرض الحقيقي في القسم! 2,5 points par question. Teste ta maîtrise complète avant ton vrai contrôle en classe !
20 / 20
ما هي مجموعة التعريف D_f للدالة f(x) = (x + 1) / √(−2x² + x + 3)؟ Quel est l'ensemble de définition D_f de f(x) = (x + 1) / √(−2x² + x + 3) ?
ما هي طبيعة زوجية الدالتين f(x) = 2x³ / (x² + 5) على ℝ و g(x) = x / (x − 2) على ℝ \ {2}؟ Quelle est la parité de f(x) = 2x³ / (x² + 5) sur ℝ et de g(x) = x / (x − 2) sur ℝ \ {2} ?
ما هو أرتوب الرأس β = f(α) (القيمة القصوية) للشلجم الممثل للدالة f(x) = −(1/2)x² + 2x + 1 على ℝ؟ Quelle est l'ordonnée du sommet β = f(α) (le maximum) de la parabole f(x) = −0,5x² + 2x + 1 ?
نعتبر الهذلول الممثل للدالة المتخاطة g(x) = (2x + 3)/(x − 1) ومركز تماثله Ω(x_Ω ; y_Ω). كم يساوي المجموع x_Ω + y_Ω؟ Soit l'hyperbole de g(x) = (2x + 3)/(x − 1) de centre de symétrie Ω(x_Ω ; y_Ω). Que vaut x_Ω + y_Ω ?
نعتبر f(x) = 3x + 4 و g(x) = 1 / (x + 1). ما هي القيمة الممنوعة الوحيدة لـ x في مجموعة تعريف المركب D_(g∘f)؟ (أعط القيمة العشرية المقربة لـ −5/3) Pour f(x) = 3x + 4 et g(x) = 1 / (x + 1), quelle est la valeur interdite de D_(g∘f) (−5/3 en décimal) ?
دالة f دورية على ℝ دورها T = 2 وتحقق لكل x ∈ [0 ; 2[: f(x) = 2x − x². احسب القيمة المضبوطة لـ f(−3,5): Soit f périodique de période T = 2 telle que sur [0 ; 2[, f(x) = 2x − x². Que vaut f(−3,5) ?
نعتبر منحنيي الدالتين f(x) = x² − 3x − 4 و g(x) = 3x + 12 في نفس المعلم. ما هو أكبر أفصول لنقطتي تقاطع (C_f) و (C_g)؟ Soient f(x) = x² − 3x − 4 et g(x) = 3x + 12. Quelle est la plus grande abscisse d'intersection de (C_f) et (C_g) ?
لدينا لكل x ∈ ℝ: 2 < (2x² + 3)/(x² + 1) ≤ 3. ماذا يمثل العددان 3 و 2 بالنسبة للدالة f(x) = (2x² + 3)/(x² + 1) على ℝ؟ Pour tout x ∈ ℝ, 2 < (2x² + 3)/(x² + 1) ≤ 3. Que représentent 3 et 2 pour cette fonction sur ℝ ?
🎬 استوديو NotebookLM: هيكلة فيديو 8 دقائق وأمر التوليد الجاهز 🎬 Studio NotebookLM : Trame Vidéo 8 min & Prompt Clé-en-Main
⏱️ هيكلة الفيديو / البودكاست التعليمي (8 دقائق) ⏱️ Structure de la Vidéo / Podcast (8 Minutes)
لا توجد تعليقات حالياً.