تم الانتهاء
Suite Numérique
المحطة العلمية: حاسبة، تحويل وحدات، مبيان ومسودة Station Scientifique : Calculatrice, Convertisseur, Grapheur & Brouillon
الأداة الشاملة للطلاب لإجراء الحسابات، تحويل الوحدات ورسم الدوال Outil universel pour calculer, convertir les unités, tracer des courbes et rédiger
مبيان الدوال الرياضية f(x) التفاعلي Grapheur de Fonctions f(x) Interactif 2D
🌐 جدول التحويلات المتزامنة (كل الوحدات في لمح البصر) : Aperçu global instantané dans toutes les unités :
Realtime Matrixالمحطة العلمية: حاسبة، تحويل وحدات، مبيان ومسودة Station Scientifique : Calculatrice, Convertisseur, Grapheur & Brouillon
الأداة الشاملة للطلاب لإجراء الحسابات، تحويل الوحدات ورسم الدوال Outil universel pour calculer, convertir les unités, tracer des courbes et rédiger
مبيان الدوال الرياضية f(x) التفاعلي Grapheur de Fonctions f(x) Interactif 2D
🌐 جدول التحويلات المتزامنة (كل الوحدات في لمح البصر) : Aperçu global instantané dans toutes les unités :
Realtime Matrixالمتتاليات العددية: المكبورة، الرتابة، الحسابية، الهندسية والمتتالية المساعدة (v_n) Les Suites Numériques : Bornées, Monotonie, Arithmétiques, Géométriques & Suites Auxiliaires
+100 XP !
أحسنت! خطوة نحو التفوق في الباكالوريا
ما هي المتتالية العددية؟ وكيف تحسم تمرين المتتاليات في الفرض والوطني؟ 📈 Qu'est-ce qu'une Suite Numérique et comment maîtriser 100% des exercices ? 📈
تخيل أن الدالة العادية f(x) هي منحدر أملس يمشي عليه كل عدد حقيقي x ∈ ℝ، بينما المتتالية العددية (u_n) هي سلّم (درج) مرقم بالأعداد الصحيحة الطبيعية فقط n ∈ ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}! في كل درجة n توجد قيمة تسمى الحد ذا الرتبة n ونرمز له بـ u_n. في هذا الدرس ستتعلم أسرار التأطير بالترجع، دراسة الرتابة، المتتاليات الحسابية والهندسية، وسر المتتالية المساعدة (v_n)! Imagine qu'une fonction f(x) est une rampe continue sur ℝ, tandis qu'une suite numérique (u_n) est un escalier dont les marches sont numérotées uniquement par des entiers naturels n ∈ ℕ = {0, 1, 2, ...} ! À chaque marche n est associé un nombre u_n appelé terme d'indice (ou de rang) n. Maîtriser ce chapitre en 1ère Bac, c'est déjà assurer 4 points à l'Examen National de 2ème Bac !
الفرق الجوهري بين المتتالية الصريحة والمتتالية الترجعية! Formule Explicite (Téléportation) vs Récurrente (Dominos) !
يُكتب الحد العام u_n مباشرة بدلالة n. هي مثل آلة الانتقال الفوري: يمكنك حساب u_{100} مباشرة بتعويض n = 100 دون الحاجة لمعرفة الحدود السابقة!
• مثال: u_n = 2n + 3 ➔ u_0 = 2(0)+3 = 3 ، و u_{100} = 2(100)+3 = 203.
Le terme u_n est donné directement en fonction de n. C'est la téléportation directe : on peut calculer u_{100} immédiatement en remplaçant n par 100 !
• Exemple : u_n = 2n + 3 ➔ u_0 = 3 et u_{100} = 2(100)+3 = 203.
نُعطي الحد الأول u_0 وعلاقة تربط كل حد بالحد الذي قبله. هي مثل درجات السلّم أو أحجار الدومينو: لحساب u_3 يجب حتماً حساب u_1 ثم u_2 أولاً!
• مثال: u_0 = 2 و u_{n+1} = 5u_n − 7:
من أجل n=0: u_1 = 5u_0 − 7 = 5(2)−7 = 3 | من أجل n=1: u_2 = 5u_1 − 7 = 5(3)−7 = 8.
On donne le premier terme u_0 et une relation liant u_{n+1} à u_n. Pour calculer u_3, on doit obligatoirement calculer u_1 puis u_2 étape par étape !
• Exemple : u_0 = 2 et u_{n+1} = 5u_n − 7 ➔ u_1 = 5(2)−7 = 3, puis u_2 = 5(3)−7 = 8, puis u_3 = 5(8)−7 = 33.
• الرمز (u_n)_{n∈ℕ} بين قوسين يمثل المتتالية بأكملها، بينما u_n بدون قوسين هو عدد حقيقي (قيمة الحد).
• إياك أن تخلط بين u_{n+1} (الحد الموالي) و u_n + 1!
• (u_n) avec parenthèses désigne toute la suite, tandis que u_n est un nombre réel.
• Ne confonds jamais u_{n+1} (terme suivant) et u_n + 1 !
كيف نبرهن أن متتالية مكبورة بـ M أو مصغورة بـ m؟ (3 طرق ذهبية) Comment prouver que m ≤ u_n ≤ M en Devoir Surveillé ?
- • 1) دراسة إشارة الفرق u_n − M (للمتتاليات الصريحة الكسرية):1) Signe de la différence u_n − M (suites explicites) : مثلاً لـ u_n = (n+1)/(2n+1)، نحسب u_n − 1 = −n/(2n+1) ≤ 0 إذن u_n ≤ 1، و u_n − 1/2 = 1/[2(2n+1)] > 0 إذن 1/2 < u_n ≤ 1! Pour u_n = (n+1)/(2n+1) : on calcule u_n − 1 = −n/(2n+1) ≤ 0 et u_n − 1/2 = 1/[2(2n+1)] > 0 ➔ 1/2 < u_n ≤ 1 !
- • 2) البرهان بالترجع (Récurrence) (للمتتاليات الترجعية u_{n+1} = f(u_n)):2) Par Récurrence (pour les suites récurrentes u_{n+1} = f(u_n)) : مثلاً لـ u_{n+1} = 7u_n / (2u_n + 1) مع u_0 = 1: للبرهان على u_n < 3 نحسب الفرق u_{n+1} − 3 = (u_n − 3)/(2u_n + 1) < 0! Pour u_{n+1} = 7u_n / (2u_n + 1) : pour l'hérédité de u_n < 3, on forme u_{n+1} − 3 = (u_n − 3)/(2u_n + 1) < 0 !
- • 3) التأطير المباشر أو المرافق:3) Encadrement trigonométrique ou Conjugué : نستعمل −1 ≤ cos(n) ≤ 1 و −1 ≤ sin(n) ≤ 1، أو نضرب في المرافق √(n+1) − √n = 1 / (√(n+1) + √n). Utiliser −1 ≤ cos(n) ≤ 1 ou multiplier par le conjugué √(n+1) − √n = 1 / (√(n+1) + √n).
لتأطير حدودية من الدرجة الثانية مثل u_n = 3n² + 6n − 4، نكتبها على الشكل القانوني:
u_n = 3(n+1)² − 7 ≥ −7!
Pour minorer un trinôme comme u_n = 3n² + 6n − 4, passe à la forme canonique :
u_n = 3(n+1)² − 7 ≥ −7 !
القاعدة الذهبية لدراسة رتابة متتالية: إشارة الفرق u_{n+1} − u_n! La Reine des Méthodes : Étudier le signe de u_{n+1} − u_n !
• مثال كلاسيكي في الفروض: نعتبر u_{n+1} = 8(u_n − 1)/(u_n + 2) مع 2 ≤ u_n ≤ 4. نحسب:
u_{n+1} − u_n = (−u_n² + 6u_n − 8)/(u_n + 2) = −(u_n − 2)(u_n − 4)/(u_n + 2).
وبما أن u_n − 2 ≥ 0 و u_n − 4 ≤ 0، فإن البسط موجب ومنه u_{n+1} − u_n ≥ 0 أي (u_n) تزايدية!
• Exemple type de DS : Pour u_{n+1} = 8(u_n − 1)/(u_n + 2) avec 2 ≤ u_n ≤ 4 :
u_{n+1} − u_n = (−u_n² + 6u_n − 8)/(u_n + 2) = −(u_n − 2)(u_n − 4)/(u_n + 2) ≥ 0 car u_n ∈ [2 ; 4], donc (u_n) est croissante !
- • مقارنة الخارج u_{n+1} / u_n مع العدد 1:Quotient u_{n+1} / u_n comparé à 1 : تُستعمل فقط إذا برهنت أولاً أن جميع الحدود موجبة قطعا (u_n > 0)! إذا كان u_{n+1}/u_n ≥ 1 فالمتتالية تزايدية.Uniquement si u_n > 0 pour tout n ! Si u_{n+1}/u_n ≥ 1, alors (u_n) est croissante.
- • البرهان بالترجع على u_n ≤ u_{n+1}:Par récurrence sur u_n ≤ u_{n+1} : عندما تكون u_{n+1} = f(u_n) والدالة f تزايدية (مثل u_{n+1} = √(u_n + 2))، ننطلق من u_n ≤ u_{n+1} وندخل الدالة f لنحصل على f(u_n) ≤ f(u_{n+1}) أي u_{n+1} ≤ u_{n+2}!Si u_{n+1} = f(u_n) avec f croissante (ex: √(u_n+2)), u_n ≤ u_{n+1} ⇒ f(u_n) ≤ f(u_{n+1}) ⇒ u_{n+1} ≤ u_{n+2} !
إذا كانت f رتيبة على [0;+∞[ فإن u_n = f(n) رتيبة، لكن العكس غير صحيح: الدالة f(x) = x + sin(2πx) غير رتيبة، بينما u_n = f(n) = n تزايدية قطعا! Si f est croissante sur ℝ⁺ alors u_n = f(n) est croissante, mais la réciproque est fausse (ex: f(x) = x + sin(2πx) donne u_n = n).
مقارنة شاملة: التعريف، الحد العام، المجموع وخاصية 3 حدود متتابعة! Le Face-à-Face : Définition, Terme Général, Somme & 3 Termes !
عدد الحدود يساوي دائماً: (الدليل الأخير − الدليل الأول + 1) = n − p + 1!
• من u_0 إلى u_n يوجد n − 0 + 1 = n + 1 حداً! بينما من u_1 إلى u_n يوجد n − 1 + 1 = n حداً!
Le nombre de termes vaut toujours : (Dernier indice − Premier indice + 1) = n − p + 1 !
• De u_0 à u_n, il y a n + 1 termes ! De u_1 à u_n, il y a n termes !
• زيادة ثابتة بـ +300 DH كل شهر ➔ متتالية حسابية أساسها r = 300.
• زيادة بـ +5% كل سنة ➔ متتالية هندسية أساسها q = 1 + 5/100 = 1,05! (ونقصان بـ 20% يعطي q = 1 − 0,20 = 0,80).
• Hausse fixe de +300 DH ➔ Arithmétique (r = 300).
• Hausse de +5% ➔ Géométrique (q = 1 + 5/100 = 1,05) ; baisse de 20% ➔ q = 1 − 0,20 = 0,80 !
الخطوات الأربع الذهبية التي تتكرر في 90% من الفروض والامتحانات! Le Protocole en 4 Étapes qui tombe dans 90% des Devoirs Surveillés !
عندما تكون المتتالية (u_n) لا حسابية ولا هندسية (مثلاً تآلفية u_{n+1} = a·u_n + b أو متخاطة u_{n+1} = (a·u_n + b)/(c·u_n + d))، لا يمكننا كتابة u_n بدلالة n مباشرة! لذلك يعطينا التمرين جسر إنقاذ يسمى المتتالية المساعدة (v_n): Lorsqu'une suite (u_n) n'est ni arithmétique ni géométrique (ex: u_{n+1} = a·u_n + b ou homographique), l'énoncé introduit une suite auxiliaire (v_n). Voici comment la dompter en 4 étapes :
• مثال: u_0 = 2 و u_{n+1} = ½ u_n + 3، ونضع v_n = u_n − 6 (حيث u_n = v_n + 6).
1) نكتب v_{n+1} = u_{n+1} − 6 = (½ u_n + 3) − 6 = ½ u_n − 3 = ½(u_n − 6) = ½ v_n.
2) إذن (v_n) هندسية أساسها q = ½ وحدها الأول v_0 = u_0 − 6 = −4.
3) نكتب v_n بدلالة n: v_n = −4 × (½)^n.
4) نستنتج u_n بدلالة n: u_n = v_n + 6 = 6 − 4 × (½)^n!
• Exemple : u_0 = 2, u_{n+1} = ½ u_n + 3 et v_n = u_n − 6.
1) v_{n+1} = u_{n+1} − 6 = ½ u_n − 3 = ½(u_n − 6) = ½ v_n (géométrique de raison q = ½ et v_0 = −4).
2) Donc v_n = −4 × (½)^n, d'où u_n = v_n + 6 = 6 − 4 × (½)^n !
• إذا كان للمعادلة f(x) = x حل مزدوج واحد α (مثل u_{n+1} = (2u_n − 1)/u_n حيث α = 1)، نضع v_n = 1/(u_n − 1) فتكون (v_n) متتالية حسابية!
• وإذا كان لها حلان مختلفان α و β (مثل u_{n+1} = (u_n + 3)/(5 − u_n))، نضع v_n = (u_n − 1)/(3 − u_n) فتكون (v_n) متتالية هندسية!
• Si f(x) = x a une racine double α (ex: u_{n+1} = (2u_n − 1)/u_n), on pose v_n = 1/(u_n − 1) et (v_n) est arithmétique !
• Si f(x) = x a deux racines α, β (ex: v_n = (u_n − 1)/(3 − u_n)), alors (v_n) est géométrique !
لا تضيع نقطك في الفرض بسبب هذه الأخطاء الثلاثة الشائعة! Déjoue les 3 pièges classiques qui font perdre des points en DS !
أغلب التلاميذ يكتبون أن المجموع S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n يحتوي على n حداً، وهذا خطأ فادح! من 0 إلى n يوجد n − 0 + 1 = n + 1 حداً! لذلك في المجموع الهندسي نكتب في الأس q^{n+1} وليس q^n! Piège du nombre de termes n + 1 en partant de u_0 :
Dans S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n, il y a n − 0 + 1 = n + 1 termes (et non n) ! Dans une somme géométrique de u_0 à u_n, l'exposant est donc 1 − q^{n+1} !
إذا كانت u_{n+1} = (5u_n − 1)/(4u_n + 1)، إياك أن تؤطر البسط وحده والمقام وحده ثم تقسم! لأن u_n يتكرر مرتين. الطريقة الصحيحة هي حساب الفرق u_{n+1} − M وتوحيد المقامات، أو كتابة u_{n+1} = a − b/(c·u_n + d)! Piège de l'encadrement direct d'une fraction u_{n+1} = (a·u_n+b)/(c·u_n+d) :
N'encadre jamais le numérateur et le dénominateur séparément ! Pour prouver u_{n+1} ≤ M par récurrence, calcule la différence u_{n+1} − M et réduis au même dénominateur !
إذا كان v_n = (u_n − 1)/(u_n + 2)، اضرب الطرفين في الوسطين: v_n(u_n + 2) = u_n − 1 ثم اجمع الحدود التي تحتوي على u_n في طرف واحد: u_n(v_n − 1) = −1 − 2v_n، ومنه u_n = (2v_n + 1)/(1 − v_n)! Piège d'inversion u_n en fonction de v_n :
Si v_n = (u_n − 1)/(u_n + 2), écris v_n(u_n + 2) = u_n − 1, regroupe les termes en u_n du même côté : u_n(1 − v_n) = 2v_n + 1 ➔ u_n = (2v_n + 1)/(1 − v_n) !
🧭 خطاطة «بوصلة المتتاليات العددية» والمحولات التفاعلية الفورية 🧭 La « Boussole des Suites Numériques » & Calculatrices Magiques
جميع القواعد في صفحة واحدة قابلة للطباعة + حاسبتان تفاعليتان للمتتاليات الحسابية والهندسية والمتتالية المساعدة. Toutes les formules sur une seule vue imprimable + 2 décodeurs interactifs en temps réel.
🌉 الجسر الشامل: المتتالية الحسابية ⟷ المتتالية المساعدة (v_n) ⟷ المتتالية الهندسية 🌉 LE PONT DES SUITES : ARITHMÉTIQUE ⟷ AUXILIAIRE (v_n) ⟷ GÉOMÉTRIQUE
أدخل الحد الأول u₀، والأساس r أو q، والرتبة n لمقارنة المتتالية الحسابية والهندسية فوراً: Entre le premier terme u₀, la raison r (ou q) et le rang n :
أدخل المعاملات a (حيث a ≠ 1) و b والحد الأول u₀ للحصول على المتتالية المساعدة v_n والحد العام u_n: Entre a (a ≠ 1), b et u₀ pour obtenir la suite auxiliaire v_n et l'expression de u_n :
🪜 محاكي «السلّم» المبياني (u_{n+1} = f(u_n)) ومقارنة النمو 🪜 Labo 2D : Diagramme en Escalier (u_{n+1} = f(u_n)) & Croissance
شاهد كيف نصنع الحدود المتتالية A₀, A₁, A₂, A₃ على محور الأفاصيل بالانعكاس على المنصف الأول (Δ): y = x في المبيان الأول، وقارن بين المتتالية الحسابية والهندسية في المبيان الثاني! Observe la construction géométrique des termes u₀, u₁, u₂, u₃ via la première bissectrice (Δ): y = x à gauche, et le duel Arithmétique vs Géométrique à droite !
🎛️ إعدادات المتتالية الترجعية 🎛️ Paramètres du Simulateur
نصعد عمودياً نحو المنحنى (C_f) لحساب u_{n+1} = f(u_n)، ثم نتجه أفقياً نحو المستقيم (Δ): y = x لإسقاط الحد على محور الأفاصيل! On monte verticalement vers (C_f) puis on rejoint horizontalement la droite (Δ): y = x pour rabattre u_{n+1} sur l'axe des abscisses !
النقط الصفراء تمثل متتالية حسابية (a_n = 2 + 1,2n) والنقط الخضراء تمثل متتالية هندسية (g_n = 2 × q^n). Les points jaunes montrent une suite arithmétique (a_n = 2 + 1,2n) et les points verts une suite géométrique (g_n = 2 × q^n).
🎯 تحديات الفروض الأربعة (تغطية شاملة 100% لجميع أسئلة المتتاليات العددية) 🎯 Les 4 Boss d'Examen (Zéro Redondance & Corrigés Ultra-Détaillés)
كل تمرين يغطي وضعية اختبارية كلاسيكية في الفرض المحروس والامتحان الوطني مع شرح مفصل لطريقة التفكير والبرهان! Chaque Boss couvre un grand classique de DS avec l'encadré « Comment réfléchir ? » et la rédaction complète !
المتتالية الترجعية المتخاطة والمتتالية المساعدة الحسابية Suite Récurrente Homographique & Suite Auxiliaire Arithmétique
📋 معطيات التحدي الأول: 📋 Énoncé du Boss #1 :
نعتبر المتتالية العددية (u_n)_{n∈ℕ} المعرفة بـ u_0 = 2 ومن أجل كل n ∈ ℕ: On considère la suite (u_n)_{n∈ℕ} définie par u_0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ :
1) احسب u_1، ثم بين بالترجع أن u_n > 1 وأن (u_n) تناقصية.
2) بين أن (v_n) متتالية حسابية محدداً أساسها r وحدها الأول v_0.
3) اكتب v_n ثم u_n بدلالة n، واحسب u_9 والمجموع S_9 = v_0 + v_1 + ... + v_9.
1) Calculer u_1, montrer par récurrence que u_n > 1 et que (u_n) est décroissante.
2) Montrer que (v_n) est arithmétique de raison r et de premier terme v_0.
3) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n, et calculer u_9 ainsi que S_9 = v_0 + v_1 + ... + v_9.
• للبرهان على أن (v_n) حسابية، نحسب الفرق v_{n+1} − v_n بتعويض u_{n+1} بقيمتها:
u_{n+1} − 1 = (2u_n − 1)/u_n − 1 = (u_n − 1)/u_n، ومنه مقلوبه هو v_{n+1} = u_n / (u_n − 1)!
• Pour prouver que (v_n) est arithmétique, calcule d'abord u_{n+1} − 1 = (u_n − 1)/u_n, puis prends son inverse : v_{n+1} = u_n / (u_n − 1) !
1. حساب u_1 والترجع والرتابة: u_1 = (2×2 − 1)/2 = 3/2 = 1,5. للبرهان بالترجع على u_n > 1: نحسب u_{n+1} − 1 = (2u_n − 1)/u_n − 1 = (u_n − 1)/u_n > 0. ولدراسة الرتابة نحسب: u_{n+1} − u_n = (2u_n − 1 − u_n²)/u_n = −(u_n − 1)² / u_n < 0، إذن (u_n) تناقصية قطعا! 1. Calcul de u_1, récurrence et monotonie : u_1 = 3/2 = 1,5. Hérédité : u_{n+1} − 1 = (u_n − 1)/u_n > 0. Monotonie : u_{n+1} − u_n = −(u_n − 1)² / u_n < 0 donc (u_n) est strictement décroissante.
2. طبيعة المتتالية (v_n): لدينا v_{n+1} − v_n = 1/(u_{n+1} − 1) − 1/(u_n − 1) = u_n/(u_n − 1) − 1/(u_n − 1) = (u_n − 1)/(u_n − 1) = 1. إذن (v_n) حسابية أساسها r = 1 وحدها الأول v_0 = 1/(2 − 1) = 1. 2. Nature de (v_n) : v_{n+1} − v_n = u_n/(u_n − 1) − 1/(u_n − 1) = 1. Donc (v_n) est arithmétique de raison r = 1 et v_0 = 1.
3 & 4. عبارة u_n والمجموع S_9: v_n = v_0 + n·r = n + 1. وبما أن u_n − 1 = 1/v_n فإن u_n = 1 + 1/(n+1) = (n+2)/(n+1). من أجل n = 9: u_9 = 11/10 = 1,1. والمجموع S_9 يضم 9 − 0 + 1 = 10 حدود: S_9 = 10 × (v_0 + v_9)/2 = 10 × (1 + 10)/2 = 55! 3 & 4. Terme général et somme : v_n = n + 1 ⇒ u_n = (n+2)/(n+1), d'où u_9 = 11/10 = 1,1 et S_9 = 10 × (1 + 10)/2 = 55 !
المتتالية التآلفية (u_{n+1} = a·u_n + b) والمجموع المركب Suite Arithmético-Géométrique (u_{n+1} = ½ u_n + 3) & Somme
📋 معطيات التحدي الثاني: 📋 Énoncé du Boss #2 :
نعتبر المتتالية (u_n)_{n∈ℕ} المعرفة بـ u_0 = 2 ومن أجل كل n ∈ ℕ: Soit la suite (u_n)_{n∈ℕ} définie par u_0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ :
1) احسب u_1 و u_2.
2) بين أن (v_n) متتالية هندسية محدداً أساسها q وحدها الأول v_0.
3) اكتب v_n و u_n بدلالة n، ثم احسب u_4.
4) نضع S_3 = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 و T_3 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3. احسب T_3!
1) Calculer u_1 et u_2.
2) Montrer que (v_n) est géométrique, préciser sa raison q et v_0.
3) Exprimer v_n et u_n en fonction de n, et calculer u_4.
4) Calculer la somme T_3 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3.
1. الحدود الأولى: u_1 = ½(2) + 3 = 4، و u_2 = ½(4) + 3 = 5، و u_3 = ½(5) + 3 = 5,5. 1. Premiers termes : u_1 = 4, u_2 = 5 et u_3 = 5,5.
2. طبيعة (v_n): v_{n+1} = u_{n+1} − 6 = ½ u_n + 3 − 6 = ½ u_n − 3 = ½(u_n − 6) = ½ v_n. إذن (v_n) متتالية هندسية أساسها q = 0,5 وحدها الأول v_0 = u_0 − 6 = 2 − 6 = −4. 2. Suite géométrique (v_n) : v_{n+1} = ½(u_n − 6) = 0,5 · v_n, avec v_0 = −4.
3 & 4. الحد العام والمجموع: v_n = −4 × (0,5)^n ومنه u_n = v_n + 6 = 6 − 4 × (0,5)^n. من أجل n = 4: u_4 = 6 − 4/16 = 5,75. وبما أن u_k = v_k + 6 (4 حدود من k=0 إلى k=3): S_3 = −4 × (1 − 0,5⁴)/(1 − 0,5) = −7,5، ومنه T_3 = S_3 + 4 × 6 = −7,5 + 24 = 16,5! 3 & 4. Calcul de u_4 et T_3 : u_4 = 6 − 4/16 = 5,75. Pour la somme de 4 termes : S_3 = −4 × (1 − 0,5⁴)/(0,5) = −7,5, d'où T_3 = S_3 + 4×6 = −7,5 + 24 = 16,5 !
الوسط الحسابي والهندسي (3 حدود متتابعة) ومقارنة عقدي كراء Propriété des 3 Termes Consécutifs & Modélisation de Contrats
📋 معطيات التحدي الثالث: 📋 Énoncé du Boss #3 :
• الجزء A (3 حدود متتابعة):
1) حدد العدد الحقيقي x لكي تكون الأعداد (2x − 1) و (x + 4) و (5x − 3) ثلاثة حدود متتابعة لمتتالية حسابية.
2) حدد العدد الموجب y > 0 لكي تكون الأعداد 3 و y و 27 ثلاثة حدود متتابعة لمتتالية هندسية.
• Partie A (3 termes consécutifs) :
1) Déterminer le réel x pour que (2x − 1), (x + 4) et (5x − 3) soient 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique.
2) Déterminer le réel positif y > 0 pour que 3, y et 27 soient 3 termes consécutifs d'une suite géométrique.
• الجزء B (مقارنة عقدين): يبدأ كراء شقة بمبلغ a_0 = b_0 = 4800 DH في السنة 0.
- العقد 1: زيادة ثابتة بـ +300 DH كل سنة (a_n).
- العقد 2: زيادة بنسبة +5 % كل سنة (b_n).
• Partie B (Comparaison de 2 contrats) : Loyer initial a_0 = b_0 = 4800 DH.
- Contrat 1 : Hausse fixe de +300 DH par an (a_n).
- Contrat 2 : Hausse de +5 % par an (b_n).
1 & 2. خاصية الحدود الثلاثة المتتابعة: • حسابية: (2x − 1) + (5x − 3) = 2(x + 4) ⇔ 7x − 4 = 2x + 8 ⇔ 5x = 12 ⇔ x = 12/5 = 2,4. • هندسية: y² = 3 × 27 = 81 وبما أن y > 0 فإن y = 9. 1 & 2. 3 termes consécutifs : • Arithmétique : 7x − 4 = 2x + 8 ⇔ 5x = 12 ⇔ x = 2,4. • Géométrique : y² = 3 × 27 = 81 ⇒ y = 9 (car y > 0).
3 & 4. مقارنة عقدي الكراء: • العقد 1 متتالية حسابية أساسها r = 300: a_8 = a_0 + 8 × 300 = 4800 + 2400 = 7200 DH. • العقد 2 متتالية هندسية أساسها q = 1 + 5/100 = 1,05: b_2 = 4800 × (1,05)² = 5292 DH! 3 & 4. Contrats : Contrat 1 arithmétique (r=300) ➔ a_8 = 4800 + 2400 = 7200 DH. Contrat 2 géométrique (q=1,05) ➔ b_2 = 4800 × 1,05² = 5292 DH !
المتتاليتان المتقاربتان المقترنتان (u_n, v_n) والتأطير الهندسي Suites Couplées (s_n = u_n+v_n, d_n = v_n−u_n) & Majoration
📋 معطيات التحدي الرابع (سؤال التميز 20/20): 📋 Énoncé du Boss #4 (Niveau Mention Très Bien) :
-
الجزء 1 (المتتاليتان المقترنتان): نعتبر المتتاليتين (u_n) و (v_n) المعرفتين بـ u_0 = 0 و v_0 = 2، ومن أجل كل n ∈ ℕ:
u_{n+1} = (3u_n + 1)/4 و v_{n+1} = (3v_n + 1)/4.
نضع s_n = u_n + v_n (تبقى ثابتة!) و d_n = v_n − u_n (هندسية!). Partie 1 (Suites couplées) : On donne u_0 = 0, v_0 = 2 et :
u_{n+1} = (3u_n + 1)/4 ; v_{n+1} = (3v_n + 1)/4.
On pose s_n = u_n + v_n (constante) et d_n = v_n − u_n (géométrique). - الجزء 2 (التأطير المتتالي): نعتبر المتتالية w_0 = 2 و w_{n+1} = w_n / (3 + 2w_n). علماً أن w_n > 0، فإن 3 + 2w_n > 3 ومنه w_{n+1} ≤ (1/3) w_n، أي 0 < w_n ≤ 2 × (1/3)^n! Partie 2 (Majoration géométrique) : Soit w_0 = 2 et w_{n+1} = w_n / (3 + 2w_n). Comme w_n > 0, on montre que w_{n+1} ≤ (1/3) w_n puis w_n ≤ 2 × (1/3)^n.
1 & 2. دراسة (s_n) و (d_n): • s_0 = u_0 + v_0 = 0 + 2 = 2، ولدينا s_{n+1} = (3s_n + 2)/4، فنجد بالترجع أن s_n = 2 ثابتة! • d_{n+1} = v_{n+1} − u_{n+1} = (3v_n + 1)/4 − (3u_n + 1)/4 = (3/4)(v_n − u_n) = 0,75 · d_n. إذن (d_n) هندسية أساسها q = 3/4 = 0,75 وحدها الأول d_0 = 2، ومنه d_n = 2 × (3/4)^n. 1 & 2. Suites (s_n) et (d_n) : s_n = 2 pour tout n, et d_{n+1} = (3/4) d_n donc (d_n) est géométrique de raison q = 0,75 et d_n = 2 × (3/4)^n.
3 & 4. استنتاج u_n والتأطير الهندسي: • بطرح المعادلتين v_n + u_n = s_n = 2 و v_n − u_n = d_n نجد u_n = (s_n − d_n)/2 = 1 − (3/4)^n، ومنه u_2 = 1 − 9/16 = 7/16 = 0,4375. • وفي الجزء 2: بضرب المتفاوتات المتتالية w_k ≤ (1/3) w_{k−1} طرفاً بطرف (أو بالترجع)، نحصل على w_n ≤ w_0 × (1/3)^n = 2 × (1/3)^n، ومن أجل n = 3 نجد M_3 = 2/27 ≈ 0,0741! 3 & 4. Expression de u_n et majoration : u_n = (s_n − d_n)/2 = 1 − (3/4)^n ⇒ u_2 = 7/16 = 0,4375. En Partie 2, w_3 ≤ 2 × (1/3)³ = 2/27 ≈ 0,0741 !
🏆 فرض محروس في المتتاليات العددية بالعد التنازلي (منقط على 20/20) 🏆 Devoir Surveillé sur les Suites Numériques (Noté sur 20/20)
2,5 نقطة لكل سؤال. اختبر جاهزيتك الكاملة قبل يوم الفرض الحقيقي في القسم! 2,5 points par question. Teste ta maîtrise complète avant ton vrai contrôle en classe !
20 / 20
نعتبر المتتالية الترجعية المعرفة بـ u_0 = 2 و u_{n+1} = 5u_n − 7. كم تساوي قيمة الحد u_2؟ Soit la suite récurrente définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = 5u_n − 7. Que vaut le terme u_2 ?
نعتبر المتتالية المعرفة على ℕ بـ u_n = (2n + 1)/(n + 2). أي تأطير من بين التالي صحيح لكل n ∈ ℕ؟ Soit la suite définie sur ℕ par u_n = (2n + 1)/(n + 2). Quel encadrement est vrai pour tout n ∈ ℕ ?
ما هي رتابة المتتالية المعرفة على ℕ بـ u_n = −n / (n + 2)؟ Quel est le sens de variation de la suite définie sur ℕ par u_n = −n / (n + 2) ?
متتالية حسابية (u_n) تحقق u_1 = 3 و u_5 = 9. ما هي قيمة أساسها r؟ Soit (u_n) une suite arithmétique telle que u_1 = 3 et u_5 = 9. Que vaut sa raison r ?
كم يساوي مجموع الأعداد الفردية من k=0 إلى k=9: S = 1 + 3 + 5 + ... + 19 (حيث 2×9 + 1 = 19)؟ Que vaut la somme des 10 premiers nombres impairs S = 1 + 3 + 5 + ... + 19 (de k=0 à k=9) ?
متتالية هندسية حدودها موجبة تحقق u_1 = 3/2 و u_4 = 3/16. ما هي قيمة أساسها q؟ Une suite géométrique vérifie u_1 = 3/2 et u_4 = 3/16. Que vaut sa raison q ?
كم يساوي المجموع الهندسي S = 1 + 2 + 2² + ... + 2¹² (حيث 2¹² = 4096)؟ Que vaut la somme géométrique S = 1 + 2 + 2² + ... + 2¹² (sachant que 2¹² = 4096) ?
ينقص عدد سكان قرية بنسبة 20% كل سنة. إذا كان عدد السكان سنة 1996 هو u_0 = 1875 نسمة، فإن المتتالية (u_n) هي: La population d'un village diminue de 20% par an (u_0 = 1875). Quelle est la nature de la suite (u_n) ?
🎬 استوديو NotebookLM: هيكلة فيديو 8 دقائق وأمر التوليد الجاهز 🎬 Studio NotebookLM : Trame Vidéo 8 min & Prompt Clé-en-Main
⏱️ هيكلة الفيديو / البودكاست التعليمي (8 دقائق) ⏱️ Structure de la Vidéo / Podcast (8 Minutes)
المتتاليات العددية: المكبورة، الرتابة، الحسابية، الهندسية والمتتالية المساعدة (v_n) Les Suites Numériques : Bornées, Monotonie, Arithmétiques, Géométriques & Suites Auxiliaires
+100 XP !
أحسنت! خطوة نحو التفوق في الباكالوريا
ما هي المتتالية العددية؟ وكيف تحسم تمرين المتتاليات في الفرض والوطني؟ 📈 Qu'est-ce qu'une Suite Numérique et comment maîtriser 100% des exercices ? 📈
تخيل أن الدالة العادية f(x) هي منحدر أملس يمشي عليه كل عدد حقيقي x ∈ ℝ، بينما المتتالية العددية (u_n) هي سلّم (درج) مرقم بالأعداد الصحيحة الطبيعية فقط n ∈ ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}! في كل درجة n توجد قيمة تسمى الحد ذا الرتبة n ونرمز له بـ u_n. في هذا الدرس ستتعلم أسرار التأطير بالترجع، دراسة الرتابة، المتتاليات الحسابية والهندسية، وسر المتتالية المساعدة (v_n)! Imagine qu'une fonction f(x) est une rampe continue sur ℝ, tandis qu'une suite numérique (u_n) est un escalier dont les marches sont numérotées uniquement par des entiers naturels n ∈ ℕ = {0, 1, 2, ...} ! À chaque marche n est associé un nombre u_n appelé terme d'indice (ou de rang) n. Maîtriser ce chapitre en 1ère Bac, c'est déjà assurer 4 points à l'Examen National de 2ème Bac !
الفرق الجوهري بين المتتالية الصريحة والمتتالية الترجعية! Formule Explicite (Téléportation) vs Récurrente (Dominos) !
يُكتب الحد العام u_n مباشرة بدلالة n. هي مثل آلة الانتقال الفوري: يمكنك حساب u_{100} مباشرة بتعويض n = 100 دون الحاجة لمعرفة الحدود السابقة!
• مثال: u_n = 2n + 3 ➔ u_0 = 2(0)+3 = 3 ، و u_{100} = 2(100)+3 = 203.
Le terme u_n est donné directement en fonction de n. C'est la téléportation directe : on peut calculer u_{100} immédiatement en remplaçant n par 100 !
• Exemple : u_n = 2n + 3 ➔ u_0 = 3 et u_{100} = 2(100)+3 = 203.
نُعطي الحد الأول u_0 وعلاقة تربط كل حد بالحد الذي قبله. هي مثل درجات السلّم أو أحجار الدومينو: لحساب u_3 يجب حتماً حساب u_1 ثم u_2 أولاً!
• مثال: u_0 = 2 و u_{n+1} = 5u_n − 7:
من أجل n=0: u_1 = 5u_0 − 7 = 5(2)−7 = 3 | من أجل n=1: u_2 = 5u_1 − 7 = 5(3)−7 = 8.
On donne le premier terme u_0 et une relation liant u_{n+1} à u_n. Pour calculer u_3, on doit obligatoirement calculer u_1 puis u_2 étape par étape !
• Exemple : u_0 = 2 et u_{n+1} = 5u_n − 7 ➔ u_1 = 5(2)−7 = 3, puis u_2 = 5(3)−7 = 8, puis u_3 = 5(8)−7 = 33.
• الرمز (u_n)_{n∈ℕ} بين قوسين يمثل المتتالية بأكملها، بينما u_n بدون قوسين هو عدد حقيقي (قيمة الحد).
• إياك أن تخلط بين u_{n+1} (الحد الموالي) و u_n + 1!
• (u_n) avec parenthèses désigne toute la suite, tandis que u_n est un nombre réel.
• Ne confonds jamais u_{n+1} (terme suivant) et u_n + 1 !
كيف نبرهن أن متتالية مكبورة بـ M أو مصغورة بـ m؟ (3 طرق ذهبية) Comment prouver que m ≤ u_n ≤ M en Devoir Surveillé ?
- • 1) دراسة إشارة الفرق u_n − M (للمتتاليات الصريحة الكسرية):1) Signe de la différence u_n − M (suites explicites) : مثلاً لـ u_n = (n+1)/(2n+1)، نحسب u_n − 1 = −n/(2n+1) ≤ 0 إذن u_n ≤ 1، و u_n − 1/2 = 1/[2(2n+1)] > 0 إذن 1/2 < u_n ≤ 1! Pour u_n = (n+1)/(2n+1) : on calcule u_n − 1 = −n/(2n+1) ≤ 0 et u_n − 1/2 = 1/[2(2n+1)] > 0 ➔ 1/2 < u_n ≤ 1 !
- • 2) البرهان بالترجع (Récurrence) (للمتتاليات الترجعية u_{n+1} = f(u_n)):2) Par Récurrence (pour les suites récurrentes u_{n+1} = f(u_n)) : مثلاً لـ u_{n+1} = 7u_n / (2u_n + 1) مع u_0 = 1: للبرهان على u_n < 3 نحسب الفرق u_{n+1} − 3 = (u_n − 3)/(2u_n + 1) < 0! Pour u_{n+1} = 7u_n / (2u_n + 1) : pour l'hérédité de u_n < 3, on forme u_{n+1} − 3 = (u_n − 3)/(2u_n + 1) < 0 !
- • 3) التأطير المباشر أو المرافق:3) Encadrement trigonométrique ou Conjugué : نستعمل −1 ≤ cos(n) ≤ 1 و −1 ≤ sin(n) ≤ 1، أو نضرب في المرافق √(n+1) − √n = 1 / (√(n+1) + √n). Utiliser −1 ≤ cos(n) ≤ 1 ou multiplier par le conjugué √(n+1) − √n = 1 / (√(n+1) + √n).
لتأطير حدودية من الدرجة الثانية مثل u_n = 3n² + 6n − 4، نكتبها على الشكل القانوني:
u_n = 3(n+1)² − 7 ≥ −7!
Pour minorer un trinôme comme u_n = 3n² + 6n − 4, passe à la forme canonique :
u_n = 3(n+1)² − 7 ≥ −7 !
القاعدة الذهبية لدراسة رتابة متتالية: إشارة الفرق u_{n+1} − u_n! La Reine des Méthodes : Étudier le signe de u_{n+1} − u_n !
• مثال كلاسيكي في الفروض: نعتبر u_{n+1} = 8(u_n − 1)/(u_n + 2) مع 2 ≤ u_n ≤ 4. نحسب:
u_{n+1} − u_n = (−u_n² + 6u_n − 8)/(u_n + 2) = −(u_n − 2)(u_n − 4)/(u_n + 2).
وبما أن u_n − 2 ≥ 0 و u_n − 4 ≤ 0، فإن البسط موجب ومنه u_{n+1} − u_n ≥ 0 أي (u_n) تزايدية!
• Exemple type de DS : Pour u_{n+1} = 8(u_n − 1)/(u_n + 2) avec 2 ≤ u_n ≤ 4 :
u_{n+1} − u_n = (−u_n² + 6u_n − 8)/(u_n + 2) = −(u_n − 2)(u_n − 4)/(u_n + 2) ≥ 0 car u_n ∈ [2 ; 4], donc (u_n) est croissante !
- • مقارنة الخارج u_{n+1} / u_n مع العدد 1:Quotient u_{n+1} / u_n comparé à 1 : تُستعمل فقط إذا برهنت أولاً أن جميع الحدود موجبة قطعا (u_n > 0)! إذا كان u_{n+1}/u_n ≥ 1 فالمتتالية تزايدية.Uniquement si u_n > 0 pour tout n ! Si u_{n+1}/u_n ≥ 1, alors (u_n) est croissante.
- • البرهان بالترجع على u_n ≤ u_{n+1}:Par récurrence sur u_n ≤ u_{n+1} : عندما تكون u_{n+1} = f(u_n) والدالة f تزايدية (مثل u_{n+1} = √(u_n + 2))، ننطلق من u_n ≤ u_{n+1} وندخل الدالة f لنحصل على f(u_n) ≤ f(u_{n+1}) أي u_{n+1} ≤ u_{n+2}!Si u_{n+1} = f(u_n) avec f croissante (ex: √(u_n+2)), u_n ≤ u_{n+1} ⇒ f(u_n) ≤ f(u_{n+1}) ⇒ u_{n+1} ≤ u_{n+2} !
إذا كانت f رتيبة على [0;+∞[ فإن u_n = f(n) رتيبة، لكن العكس غير صحيح: الدالة f(x) = x + sin(2πx) غير رتيبة، بينما u_n = f(n) = n تزايدية قطعا! Si f est croissante sur ℝ⁺ alors u_n = f(n) est croissante, mais la réciproque est fausse (ex: f(x) = x + sin(2πx) donne u_n = n).
مقارنة شاملة: التعريف، الحد العام، المجموع وخاصية 3 حدود متتابعة! Le Face-à-Face : Définition, Terme Général, Somme & 3 Termes !
عدد الحدود يساوي دائماً: (الدليل الأخير − الدليل الأول + 1) = n − p + 1!
• من u_0 إلى u_n يوجد n − 0 + 1 = n + 1 حداً! بينما من u_1 إلى u_n يوجد n − 1 + 1 = n حداً!
Le nombre de termes vaut toujours : (Dernier indice − Premier indice + 1) = n − p + 1 !
• De u_0 à u_n, il y a n + 1 termes ! De u_1 à u_n, il y a n termes !
• زيادة ثابتة بـ +300 DH كل شهر ➔ متتالية حسابية أساسها r = 300.
• زيادة بـ +5% كل سنة ➔ متتالية هندسية أساسها q = 1 + 5/100 = 1,05! (ونقصان بـ 20% يعطي q = 1 − 0,20 = 0,80).
• Hausse fixe de +300 DH ➔ Arithmétique (r = 300).
• Hausse de +5% ➔ Géométrique (q = 1 + 5/100 = 1,05) ; baisse de 20% ➔ q = 1 − 0,20 = 0,80 !
الخطوات الأربع الذهبية التي تتكرر في 90% من الفروض والامتحانات! Le Protocole en 4 Étapes qui tombe dans 90% des Devoirs Surveillés !
عندما تكون المتتالية (u_n) لا حسابية ولا هندسية (مثلاً تآلفية u_{n+1} = a·u_n + b أو متخاطة u_{n+1} = (a·u_n + b)/(c·u_n + d))، لا يمكننا كتابة u_n بدلالة n مباشرة! لذلك يعطينا التمرين جسر إنقاذ يسمى المتتالية المساعدة (v_n): Lorsqu'une suite (u_n) n'est ni arithmétique ni géométrique (ex: u_{n+1} = a·u_n + b ou homographique), l'énoncé introduit une suite auxiliaire (v_n). Voici comment la dompter en 4 étapes :
• مثال: u_0 = 2 و u_{n+1} = ½ u_n + 3، ونضع v_n = u_n − 6 (حيث u_n = v_n + 6).
1) نكتب v_{n+1} = u_{n+1} − 6 = (½ u_n + 3) − 6 = ½ u_n − 3 = ½(u_n − 6) = ½ v_n.
2) إذن (v_n) هندسية أساسها q = ½ وحدها الأول v_0 = u_0 − 6 = −4.
3) نكتب v_n بدلالة n: v_n = −4 × (½)^n.
4) نستنتج u_n بدلالة n: u_n = v_n + 6 = 6 − 4 × (½)^n!
• Exemple : u_0 = 2, u_{n+1} = ½ u_n + 3 et v_n = u_n − 6.
1) v_{n+1} = u_{n+1} − 6 = ½ u_n − 3 = ½(u_n − 6) = ½ v_n (géométrique de raison q = ½ et v_0 = −4).
2) Donc v_n = −4 × (½)^n, d'où u_n = v_n + 6 = 6 − 4 × (½)^n !
• إذا كان للمعادلة f(x) = x حل مزدوج واحد α (مثل u_{n+1} = (2u_n − 1)/u_n حيث α = 1)، نضع v_n = 1/(u_n − 1) فتكون (v_n) متتالية حسابية!
• وإذا كان لها حلان مختلفان α و β (مثل u_{n+1} = (u_n + 3)/(5 − u_n))، نضع v_n = (u_n − 1)/(3 − u_n) فتكون (v_n) متتالية هندسية!
• Si f(x) = x a une racine double α (ex: u_{n+1} = (2u_n − 1)/u_n), on pose v_n = 1/(u_n − 1) et (v_n) est arithmétique !
• Si f(x) = x a deux racines α, β (ex: v_n = (u_n − 1)/(3 − u_n)), alors (v_n) est géométrique !
لا تضيع نقطك في الفرض بسبب هذه الأخطاء الثلاثة الشائعة! Déjoue les 3 pièges classiques qui font perdre des points en DS !
أغلب التلاميذ يكتبون أن المجموع S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n يحتوي على n حداً، وهذا خطأ فادح! من 0 إلى n يوجد n − 0 + 1 = n + 1 حداً! لذلك في المجموع الهندسي نكتب في الأس q^{n+1} وليس q^n! Piège du nombre de termes n + 1 en partant de u_0 :
Dans S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n, il y a n − 0 + 1 = n + 1 termes (et non n) ! Dans une somme géométrique de u_0 à u_n, l'exposant est donc 1 − q^{n+1} !
إذا كانت u_{n+1} = (5u_n − 1)/(4u_n + 1)، إياك أن تؤطر البسط وحده والمقام وحده ثم تقسم! لأن u_n يتكرر مرتين. الطريقة الصحيحة هي حساب الفرق u_{n+1} − M وتوحيد المقامات، أو كتابة u_{n+1} = a − b/(c·u_n + d)! Piège de l'encadrement direct d'une fraction u_{n+1} = (a·u_n+b)/(c·u_n+d) :
N'encadre jamais le numérateur et le dénominateur séparément ! Pour prouver u_{n+1} ≤ M par récurrence, calcule la différence u_{n+1} − M et réduis au même dénominateur !
إذا كان v_n = (u_n − 1)/(u_n + 2)، اضرب الطرفين في الوسطين: v_n(u_n + 2) = u_n − 1 ثم اجمع الحدود التي تحتوي على u_n في طرف واحد: u_n(v_n − 1) = −1 − 2v_n، ومنه u_n = (2v_n + 1)/(1 − v_n)! Piège d'inversion u_n en fonction de v_n :
Si v_n = (u_n − 1)/(u_n + 2), écris v_n(u_n + 2) = u_n − 1, regroupe les termes en u_n du même côté : u_n(1 − v_n) = 2v_n + 1 ➔ u_n = (2v_n + 1)/(1 − v_n) !
🧭 خطاطة «بوصلة المتتاليات العددية» والمحولات التفاعلية الفورية 🧭 La « Boussole des Suites Numériques » & Calculatrices Magiques
جميع القواعد في صفحة واحدة قابلة للطباعة + حاسبتان تفاعليتان للمتتاليات الحسابية والهندسية والمتتالية المساعدة. Toutes les formules sur une seule vue imprimable + 2 décodeurs interactifs en temps réel.
🌉 الجسر الشامل: المتتالية الحسابية ⟷ المتتالية المساعدة (v_n) ⟷ المتتالية الهندسية 🌉 LE PONT DES SUITES : ARITHMÉTIQUE ⟷ AUXILIAIRE (v_n) ⟷ GÉOMÉTRIQUE
أدخل الحد الأول u₀، والأساس r أو q، والرتبة n لمقارنة المتتالية الحسابية والهندسية فوراً: Entre le premier terme u₀, la raison r (ou q) et le rang n :
أدخل المعاملات a (حيث a ≠ 1) و b والحد الأول u₀ للحصول على المتتالية المساعدة v_n والحد العام u_n: Entre a (a ≠ 1), b et u₀ pour obtenir la suite auxiliaire v_n et l'expression de u_n :
🪜 محاكي «السلّم» المبياني (u_{n+1} = f(u_n)) ومقارنة النمو 🪜 Labo 2D : Diagramme en Escalier (u_{n+1} = f(u_n)) & Croissance
شاهد كيف نصنع الحدود المتتالية A₀, A₁, A₂, A₃ على محور الأفاصيل بالانعكاس على المنصف الأول (Δ): y = x في المبيان الأول، وقارن بين المتتالية الحسابية والهندسية في المبيان الثاني! Observe la construction géométrique des termes u₀, u₁, u₂, u₃ via la première bissectrice (Δ): y = x à gauche, et le duel Arithmétique vs Géométrique à droite !
🎛️ إعدادات المتتالية الترجعية 🎛️ Paramètres du Simulateur
نصعد عمودياً نحو المنحنى (C_f) لحساب u_{n+1} = f(u_n)، ثم نتجه أفقياً نحو المستقيم (Δ): y = x لإسقاط الحد على محور الأفاصيل! On monte verticalement vers (C_f) puis on rejoint horizontalement la droite (Δ): y = x pour rabattre u_{n+1} sur l'axe des abscisses !
النقط الصفراء تمثل متتالية حسابية (a_n = 2 + 1,2n) والنقط الخضراء تمثل متتالية هندسية (g_n = 2 × q^n). Les points jaunes montrent une suite arithmétique (a_n = 2 + 1,2n) et les points verts une suite géométrique (g_n = 2 × q^n).
🎯 تحديات الفروض الأربعة (تغطية شاملة 100% لجميع أسئلة المتتاليات العددية) 🎯 Les 4 Boss d'Examen (Zéro Redondance & Corrigés Ultra-Détaillés)
كل تمرين يغطي وضعية اختبارية كلاسيكية في الفرض المحروس والامتحان الوطني مع شرح مفصل لطريقة التفكير والبرهان! Chaque Boss couvre un grand classique de DS avec l'encadré « Comment réfléchir ? » et la rédaction complète !
المتتالية الترجعية المتخاطة والمتتالية المساعدة الحسابية Suite Récurrente Homographique & Suite Auxiliaire Arithmétique
📋 معطيات التحدي الأول: 📋 Énoncé du Boss #1 :
نعتبر المتتالية العددية (u_n)_{n∈ℕ} المعرفة بـ u_0 = 2 ومن أجل كل n ∈ ℕ: On considère la suite (u_n)_{n∈ℕ} définie par u_0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ :
1) احسب u_1، ثم بين بالترجع أن u_n > 1 وأن (u_n) تناقصية.
2) بين أن (v_n) متتالية حسابية محدداً أساسها r وحدها الأول v_0.
3) اكتب v_n ثم u_n بدلالة n، واحسب u_9 والمجموع S_9 = v_0 + v_1 + ... + v_9.
1) Calculer u_1, montrer par récurrence que u_n > 1 et que (u_n) est décroissante.
2) Montrer que (v_n) est arithmétique de raison r et de premier terme v_0.
3) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n, et calculer u_9 ainsi que S_9 = v_0 + v_1 + ... + v_9.
• للبرهان على أن (v_n) حسابية، نحسب الفرق v_{n+1} − v_n بتعويض u_{n+1} بقيمتها:
u_{n+1} − 1 = (2u_n − 1)/u_n − 1 = (u_n − 1)/u_n، ومنه مقلوبه هو v_{n+1} = u_n / (u_n − 1)!
• Pour prouver que (v_n) est arithmétique, calcule d'abord u_{n+1} − 1 = (u_n − 1)/u_n, puis prends son inverse : v_{n+1} = u_n / (u_n − 1) !
1. حساب u_1 والترجع والرتابة: u_1 = (2×2 − 1)/2 = 3/2 = 1,5. للبرهان بالترجع على u_n > 1: نحسب u_{n+1} − 1 = (2u_n − 1)/u_n − 1 = (u_n − 1)/u_n > 0. ولدراسة الرتابة نحسب: u_{n+1} − u_n = (2u_n − 1 − u_n²)/u_n = −(u_n − 1)² / u_n < 0، إذن (u_n) تناقصية قطعا! 1. Calcul de u_1, récurrence et monotonie : u_1 = 3/2 = 1,5. Hérédité : u_{n+1} − 1 = (u_n − 1)/u_n > 0. Monotonie : u_{n+1} − u_n = −(u_n − 1)² / u_n < 0 donc (u_n) est strictement décroissante.
2. طبيعة المتتالية (v_n): لدينا v_{n+1} − v_n = 1/(u_{n+1} − 1) − 1/(u_n − 1) = u_n/(u_n − 1) − 1/(u_n − 1) = (u_n − 1)/(u_n − 1) = 1. إذن (v_n) حسابية أساسها r = 1 وحدها الأول v_0 = 1/(2 − 1) = 1. 2. Nature de (v_n) : v_{n+1} − v_n = u_n/(u_n − 1) − 1/(u_n − 1) = 1. Donc (v_n) est arithmétique de raison r = 1 et v_0 = 1.
3 & 4. عبارة u_n والمجموع S_9: v_n = v_0 + n·r = n + 1. وبما أن u_n − 1 = 1/v_n فإن u_n = 1 + 1/(n+1) = (n+2)/(n+1). من أجل n = 9: u_9 = 11/10 = 1,1. والمجموع S_9 يضم 9 − 0 + 1 = 10 حدود: S_9 = 10 × (v_0 + v_9)/2 = 10 × (1 + 10)/2 = 55! 3 & 4. Terme général et somme : v_n = n + 1 ⇒ u_n = (n+2)/(n+1), d'où u_9 = 11/10 = 1,1 et S_9 = 10 × (1 + 10)/2 = 55 !
المتتالية التآلفية (u_{n+1} = a·u_n + b) والمجموع المركب Suite Arithmético-Géométrique (u_{n+1} = ½ u_n + 3) & Somme
📋 معطيات التحدي الثاني: 📋 Énoncé du Boss #2 :
نعتبر المتتالية (u_n)_{n∈ℕ} المعرفة بـ u_0 = 2 ومن أجل كل n ∈ ℕ: Soit la suite (u_n)_{n∈ℕ} définie par u_0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ :
1) احسب u_1 و u_2.
2) بين أن (v_n) متتالية هندسية محدداً أساسها q وحدها الأول v_0.
3) اكتب v_n و u_n بدلالة n، ثم احسب u_4.
4) نضع S_3 = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 و T_3 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3. احسب T_3!
1) Calculer u_1 et u_2.
2) Montrer que (v_n) est géométrique, préciser sa raison q et v_0.
3) Exprimer v_n et u_n en fonction de n, et calculer u_4.
4) Calculer la somme T_3 = u_0 + u_1 + u_2 + u_3.
1. الحدود الأولى: u_1 = ½(2) + 3 = 4، و u_2 = ½(4) + 3 = 5، و u_3 = ½(5) + 3 = 5,5. 1. Premiers termes : u_1 = 4, u_2 = 5 et u_3 = 5,5.
2. طبيعة (v_n): v_{n+1} = u_{n+1} − 6 = ½ u_n + 3 − 6 = ½ u_n − 3 = ½(u_n − 6) = ½ v_n. إذن (v_n) متتالية هندسية أساسها q = 0,5 وحدها الأول v_0 = u_0 − 6 = 2 − 6 = −4. 2. Suite géométrique (v_n) : v_{n+1} = ½(u_n − 6) = 0,5 · v_n, avec v_0 = −4.
3 & 4. الحد العام والمجموع: v_n = −4 × (0,5)^n ومنه u_n = v_n + 6 = 6 − 4 × (0,5)^n. من أجل n = 4: u_4 = 6 − 4/16 = 5,75. وبما أن u_k = v_k + 6 (4 حدود من k=0 إلى k=3): S_3 = −4 × (1 − 0,5⁴)/(1 − 0,5) = −7,5، ومنه T_3 = S_3 + 4 × 6 = −7,5 + 24 = 16,5! 3 & 4. Calcul de u_4 et T_3 : u_4 = 6 − 4/16 = 5,75. Pour la somme de 4 termes : S_3 = −4 × (1 − 0,5⁴)/(0,5) = −7,5, d'où T_3 = S_3 + 4×6 = −7,5 + 24 = 16,5 !
الوسط الحسابي والهندسي (3 حدود متتابعة) ومقارنة عقدي كراء Propriété des 3 Termes Consécutifs & Modélisation de Contrats
📋 معطيات التحدي الثالث: 📋 Énoncé du Boss #3 :
• الجزء A (3 حدود متتابعة):
1) حدد العدد الحقيقي x لكي تكون الأعداد (2x − 1) و (x + 4) و (5x − 3) ثلاثة حدود متتابعة لمتتالية حسابية.
2) حدد العدد الموجب y > 0 لكي تكون الأعداد 3 و y و 27 ثلاثة حدود متتابعة لمتتالية هندسية.
• Partie A (3 termes consécutifs) :
1) Déterminer le réel x pour que (2x − 1), (x + 4) et (5x − 3) soient 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique.
2) Déterminer le réel positif y > 0 pour que 3, y et 27 soient 3 termes consécutifs d'une suite géométrique.
• الجزء B (مقارنة عقدين): يبدأ كراء شقة بمبلغ a_0 = b_0 = 4800 DH في السنة 0.
- العقد 1: زيادة ثابتة بـ +300 DH كل سنة (a_n).
- العقد 2: زيادة بنسبة +5 % كل سنة (b_n).
• Partie B (Comparaison de 2 contrats) : Loyer initial a_0 = b_0 = 4800 DH.
- Contrat 1 : Hausse fixe de +300 DH par an (a_n).
- Contrat 2 : Hausse de +5 % par an (b_n).
1 & 2. خاصية الحدود الثلاثة المتتابعة: • حسابية: (2x − 1) + (5x − 3) = 2(x + 4) ⇔ 7x − 4 = 2x + 8 ⇔ 5x = 12 ⇔ x = 12/5 = 2,4. • هندسية: y² = 3 × 27 = 81 وبما أن y > 0 فإن y = 9. 1 & 2. 3 termes consécutifs : • Arithmétique : 7x − 4 = 2x + 8 ⇔ 5x = 12 ⇔ x = 2,4. • Géométrique : y² = 3 × 27 = 81 ⇒ y = 9 (car y > 0).
3 & 4. مقارنة عقدي الكراء: • العقد 1 متتالية حسابية أساسها r = 300: a_8 = a_0 + 8 × 300 = 4800 + 2400 = 7200 DH. • العقد 2 متتالية هندسية أساسها q = 1 + 5/100 = 1,05: b_2 = 4800 × (1,05)² = 5292 DH! 3 & 4. Contrats : Contrat 1 arithmétique (r=300) ➔ a_8 = 4800 + 2400 = 7200 DH. Contrat 2 géométrique (q=1,05) ➔ b_2 = 4800 × 1,05² = 5292 DH !
المتتاليتان المتقاربتان المقترنتان (u_n, v_n) والتأطير الهندسي Suites Couplées (s_n = u_n+v_n, d_n = v_n−u_n) & Majoration
📋 معطيات التحدي الرابع (سؤال التميز 20/20): 📋 Énoncé du Boss #4 (Niveau Mention Très Bien) :
-
الجزء 1 (المتتاليتان المقترنتان): نعتبر المتتاليتين (u_n) و (v_n) المعرفتين بـ u_0 = 0 و v_0 = 2، ومن أجل كل n ∈ ℕ:
u_{n+1} = (3u_n + 1)/4 و v_{n+1} = (3v_n + 1)/4.
نضع s_n = u_n + v_n (تبقى ثابتة!) و d_n = v_n − u_n (هندسية!). Partie 1 (Suites couplées) : On donne u_0 = 0, v_0 = 2 et :
u_{n+1} = (3u_n + 1)/4 ; v_{n+1} = (3v_n + 1)/4.
On pose s_n = u_n + v_n (constante) et d_n = v_n − u_n (géométrique). - الجزء 2 (التأطير المتتالي): نعتبر المتتالية w_0 = 2 و w_{n+1} = w_n / (3 + 2w_n). علماً أن w_n > 0، فإن 3 + 2w_n > 3 ومنه w_{n+1} ≤ (1/3) w_n، أي 0 < w_n ≤ 2 × (1/3)^n! Partie 2 (Majoration géométrique) : Soit w_0 = 2 et w_{n+1} = w_n / (3 + 2w_n). Comme w_n > 0, on montre que w_{n+1} ≤ (1/3) w_n puis w_n ≤ 2 × (1/3)^n.
1 & 2. دراسة (s_n) و (d_n): • s_0 = u_0 + v_0 = 0 + 2 = 2، ولدينا s_{n+1} = (3s_n + 2)/4، فنجد بالترجع أن s_n = 2 ثابتة! • d_{n+1} = v_{n+1} − u_{n+1} = (3v_n + 1)/4 − (3u_n + 1)/4 = (3/4)(v_n − u_n) = 0,75 · d_n. إذن (d_n) هندسية أساسها q = 3/4 = 0,75 وحدها الأول d_0 = 2، ومنه d_n = 2 × (3/4)^n. 1 & 2. Suites (s_n) et (d_n) : s_n = 2 pour tout n, et d_{n+1} = (3/4) d_n donc (d_n) est géométrique de raison q = 0,75 et d_n = 2 × (3/4)^n.
3 & 4. استنتاج u_n والتأطير الهندسي: • بطرح المعادلتين v_n + u_n = s_n = 2 و v_n − u_n = d_n نجد u_n = (s_n − d_n)/2 = 1 − (3/4)^n، ومنه u_2 = 1 − 9/16 = 7/16 = 0,4375. • وفي الجزء 2: بضرب المتفاوتات المتتالية w_k ≤ (1/3) w_{k−1} طرفاً بطرف (أو بالترجع)، نحصل على w_n ≤ w_0 × (1/3)^n = 2 × (1/3)^n، ومن أجل n = 3 نجد M_3 = 2/27 ≈ 0,0741! 3 & 4. Expression de u_n et majoration : u_n = (s_n − d_n)/2 = 1 − (3/4)^n ⇒ u_2 = 7/16 = 0,4375. En Partie 2, w_3 ≤ 2 × (1/3)³ = 2/27 ≈ 0,0741 !
🏆 فرض محروس في المتتاليات العددية بالعد التنازلي (منقط على 20/20) 🏆 Devoir Surveillé sur les Suites Numériques (Noté sur 20/20)
2,5 نقطة لكل سؤال. اختبر جاهزيتك الكاملة قبل يوم الفرض الحقيقي في القسم! 2,5 points par question. Teste ta maîtrise complète avant ton vrai contrôle en classe !
20 / 20
نعتبر المتتالية الترجعية المعرفة بـ u_0 = 2 و u_{n+1} = 5u_n − 7. كم تساوي قيمة الحد u_2؟ Soit la suite récurrente définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = 5u_n − 7. Que vaut le terme u_2 ?
نعتبر المتتالية المعرفة على ℕ بـ u_n = (2n + 1)/(n + 2). أي تأطير من بين التالي صحيح لكل n ∈ ℕ؟ Soit la suite définie sur ℕ par u_n = (2n + 1)/(n + 2). Quel encadrement est vrai pour tout n ∈ ℕ ?
ما هي رتابة المتتالية المعرفة على ℕ بـ u_n = −n / (n + 2)؟ Quel est le sens de variation de la suite définie sur ℕ par u_n = −n / (n + 2) ?
متتالية حسابية (u_n) تحقق u_1 = 3 و u_5 = 9. ما هي قيمة أساسها r؟ Soit (u_n) une suite arithmétique telle que u_1 = 3 et u_5 = 9. Que vaut sa raison r ?
كم يساوي مجموع الأعداد الفردية من k=0 إلى k=9: S = 1 + 3 + 5 + ... + 19 (حيث 2×9 + 1 = 19)؟ Que vaut la somme des 10 premiers nombres impairs S = 1 + 3 + 5 + ... + 19 (de k=0 à k=9) ?
متتالية هندسية حدودها موجبة تحقق u_1 = 3/2 و u_4 = 3/16. ما هي قيمة أساسها q؟ Une suite géométrique vérifie u_1 = 3/2 et u_4 = 3/16. Que vaut sa raison q ?
كم يساوي المجموع الهندسي S = 1 + 2 + 2² + ... + 2¹² (حيث 2¹² = 4096)؟ Que vaut la somme géométrique S = 1 + 2 + 2² + ... + 2¹² (sachant que 2¹² = 4096) ?
ينقص عدد سكان قرية بنسبة 20% كل سنة. إذا كان عدد السكان سنة 1996 هو u_0 = 1875 نسمة، فإن المتتالية (u_n) هي: La population d'un village diminue de 20% par an (u_0 = 1875). Quelle est la nature de la suite (u_n) ?
🎬 استوديو NotebookLM: هيكلة فيديو 8 دقائق وأمر التوليد الجاهز 🎬 Studio NotebookLM : Trame Vidéo 8 min & Prompt Clé-en-Main
⏱️ هيكلة الفيديو / البودكاست التعليمي (8 دقائق) ⏱️ Structure de la Vidéo / Podcast (8 Minutes)
لا توجد تعليقات حالياً.